미적분 예제

$\frac{x^{4}}{x - 12}$

단계 1

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = x - 12$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 12) \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [x - 12]}{{(x - 12)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 12) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [x - 12]}{{(x - 12)}^{2}}$

단계 2.2

$x - 12$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{4 \cdot (x - 12) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [x - 12]}{{(x - 12)}^{2}}$

단계 2.3

합의 법칙에 의해 $x - 12$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ 가 됩니다.

$\frac{4 (x - 12) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12])}{{(x - 12)}^{2}}$

단계 2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4 (x - 12) x^{3} - x^{4} (1 + \frac{d}{d x} [- 12])}{{(x - 12)}^{2}}$

단계 2.5

$- 12$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 12$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 12$ 입니다.

$\frac{4 (x - 12) x^{3} - x^{4} (1 + 0)}{{(x - 12)}^{2}}$

단계 2.6

식을 간단히 합니다.

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단계 2.6.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{4 (x - 12) x^{3} - x^{4} \cdot 1}{{(x - 12)}^{2}}$

단계 2.6.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 (x - 12) x^{3} - x^{4}}{{(x - 12)}^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(4 x + 4 \cdot - 12) x^{3} - x^{4}}{{(x - 12)}^{2}}$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 x \cdot x^{3} + 4 \cdot - 12 x^{3} - x^{4}}{{(x - 12)}^{2}}$

단계 3.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 3.3.1.1.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$\frac{4 (x^{3} x) + 4 \cdot - 12 x^{3} - x^{4}}{{(x - 12)}^{2}}$

단계 3.3.1.1.2

$x^{3}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.3.1.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{4 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot - 12 x^{3} - x^{4}}{{(x - 12)}^{2}}$

단계 3.3.1.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{4 x^{3 + 1} + 4 \cdot - 12 x^{3} - x^{4}}{{(x - 12)}^{2}}$

단계 3.3.1.1.3

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{4 x^{4} + 4 \cdot - 12 x^{3} - x^{4}}{{(x - 12)}^{2}}$

단계 3.3.1.2

$4$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x^{4} - 48 x^{3} - x^{4}}{{(x - 12)}^{2}}$

단계 3.3.2

$4 x^{4}$ 에서 $x^{4}$ 을 뺍니다.

$\frac{3 x^{4} - 48 x^{3}}{{(x - 12)}^{2}}$

단계 3.4

$3 x^{4} - 48 x^{3}$ 에서 $3 x^{3}$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.4.1

$3 x^{4}$ 에서 $3 x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 x^{3} (x) - 48 x^{3}}{{(x - 12)}^{2}}$

단계 3.4.2

$- 48 x^{3}$ 에서 $3 x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 x^{3} (x) + 3 x^{3} (- 16)}{{(x - 12)}^{2}}$

단계 3.4.3

$3 x^{3} (x) + 3 x^{3} (- 16)$ 에서 $3 x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 x^{3} (x - 16)}{{(x - 12)}^{2}}$