미적분 예제

$\frac{x^{3} - 4 x}{\sqrt{x}}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} - 4 x}{x^{\frac{1}{2}}}]$

단계 2

$x^{3} - 4 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1

$x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot x^{2} - 4 x}{x^{\frac{1}{2}}}]$

단계 2.2

$- 4 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 4}{x^{\frac{1}{2}}}]$

단계 2.3

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 4$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} - 4)}{x^{\frac{1}{2}}}]$

단계 3

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 분자로 이동합니다.

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 4) x^{- \frac{1}{2}}]$

단계 4

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 4.1

$x^{- \frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} x (x^{2} - 4)]$

단계 4.2

$x^{- \frac{1}{2}}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} x^{1} (x^{2} - 4)]$

단계 4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2} + 1} (x^{2} - 4)]$

단계 4.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (x^{2} - 4)]$

단계 4.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1 + 2}{2}} (x^{2} - 4)]$

단계 4.5

$- 1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 4)]$

단계 5

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x^{2} - 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 6

미분합니다.

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단계 6.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 6.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{\frac{1}{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 6.3

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$x^{\frac{1}{2}} (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 6.4

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x^{\frac{1}{2}} (2 x) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 7

지수를 더하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 7.1

$x$ 를 옮깁니다.

$x \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 7.2

$x$ 에 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 7.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x^{1} x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 7.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x^{1 + \frac{1}{2}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 7.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 7.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 7.5

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 8

$x^{\frac{3}{2}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \cdot x^{\frac{3}{2}} + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 9

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x^{\frac{3}{2}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

단계 10

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$2 x^{\frac{3}{2}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 11

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$2 x^{\frac{3}{2}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 12

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 x^{\frac{3}{2}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 13

분자를 간단히 합니다.

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단계 13.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 x^{\frac{3}{2}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

단계 13.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$2 x^{\frac{3}{2}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

단계 14

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2 x^{\frac{3}{2}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

단계 15

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$2 x^{\frac{3}{2}} + (x^{2} - 4) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

단계 16

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$2 x^{\frac{3}{2}} + (x^{2} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 17

간단히 합니다.

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단계 17.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 x^{\frac{3}{2}} + x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 17.2

항을 묶습니다.

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단계 17.2.1

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 17.2.2

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 분자로 이동합니다.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 17.2.3

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 17.2.3.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{2 - \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 17.2.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 17.2.3.3

$2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 17.2.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 17.2.3.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 17.2.3.5.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{4 - 1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 17.2.3.5.2

$4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 17.2.4

$- 4$ 와 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 17.2.5

$- 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 17.2.6

공약수로 약분합니다.

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단계 17.2.6.1

$2 x^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

단계 17.2.6.2

공약수로 약분합니다.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 17.2.6.3

수식을 다시 씁니다.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 17.2.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 17.2.8

공통 분모를 가지는 분수로 $2 x^{\frac{3}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$2 x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 17.2.9

$2 x^{\frac{3}{2}}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 17.2.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 17.2.11

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 17.2.12

$4 x^{\frac{3}{2}}$ 를 $x^{\frac{3}{2}}$ 에 더합니다.

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$