미적분 예제

$\frac{x^{2} - 9}{25 - x^{2}}$

단계 1

$f (x) = x^{2} - 9$ , $g (x) = 25 - x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(25 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9] - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 가 됩니다.

$\frac{(25 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.3

$- 9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 9$ 입니다.

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x + 0) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.4

식을 간단히 합니다.

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단계 2.4.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(25 - x^{2}) (2 x) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.4.2

$25 - x^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot (25 - x^{2}) x - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.5

합의 법칙에 의해 $25 - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{2 (25 - x^{2}) x - (x^{2} - 9) (\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.6

$25$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $25$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $25$ 입니다.

$\frac{2 (25 - x^{2}) x - (x^{2} - 9) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.7

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 에 더합니다.

$\frac{2 (25 - x^{2}) x - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.8

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{2 (25 - x^{2}) x - (x^{2} - 9) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.9

곱합니다.

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단계 2.9.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (25 - x^{2}) x + 1 (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.9.2

$x^{2} - 9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (25 - x^{2}) x + (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.10

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 (25 - x^{2}) x + (x^{2} - 9) (2 x)}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.11

$x^{2} - 9$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 (25 - x^{2}) x + 2 \cdot (x^{2} - 9) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 \cdot 25 + 2 (- x^{2})) x + 2 (x^{2} - 9) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 \cdot 25 x + 2 (- x^{2}) x + 2 (x^{2} - 9) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 \cdot 25 x + 2 (- x^{2}) x + (2 x^{2} + 2 \cdot - 9) x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 \cdot 25 x + 2 (- x^{2}) x + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 9 x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.5.1.1

$2$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$\frac{50 x + 2 (- x^{2}) x + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 9 x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.5.1.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.5.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{50 x + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 9 x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.5.1.2.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.5.1.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{50 x + 2 (- (x^{1} x^{2})) + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 9 x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.5.1.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{50 x + 2 (- x^{1 + 2}) + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 9 x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.5.1.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{50 x + 2 (- x^{3}) + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 9 x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.5.1.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{50 x - 2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 9 x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.5.1.4

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.5.1.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{50 x - 2 x^{3} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 9 x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.5.1.4.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1.4.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{50 x - 2 x^{3} + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 9 x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.5.1.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{50 x - 2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 9 x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.5.1.4.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{50 x - 2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot - 9 x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.5.1.5

$2$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$\frac{50 x - 2 x^{3} + 2 x^{3} - 18 x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.5.2

$50 x - 2 x^{3} + 2 x^{3} - 18 x$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 3.5.2.1

$- 2 x^{3}$ 를 $2 x^{3}$ 에 더합니다.

$\frac{50 x + 0 - 18 x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.5.2.2

$50 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{50 x - 18 x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.5.3

$50 x$ 에서 $18 x$ 을 뺍니다.

$\frac{32 x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.6

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{32 x}{{(- x^{2} + 25)}^{2}}$

단계 3.7

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.7.1

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{32 x}{{(- x^{2} + 5^{2})}^{2}}$

단계 3.7.2

$- x^{2}$ 와 $5^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{32 x}{{(5^{2} - x^{2})}^{2}}$

단계 3.7.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 5$ 이고 $b = x$ 입니다.

$\frac{32 x}{{((5 + x) (5 - x))}^{2}}$

단계 3.7.4

$(5 + x) (5 - x)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{32 x}{{(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2}}$