미적분 예제

$\frac{x^{3}}{9} \cdot (3 \ln (x - 1))$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

$3$ 와 $\frac{x^{3}}{9}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{3}}{9} \cdot \ln (x - 1)]$

단계 1.2

항을 간단히 합니다.

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단계 1.2.1

$\frac{3 x^{3}}{9}$ 와 $\ln (x - 1)$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{3} \ln (x - 1)}{9}]$

단계 1.2.2

$3$ 및 $9$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.2.1

$3 x^{3} \ln (x - 1)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{3 (x^{3} \ln (x - 1))}{9}]$

단계 1.2.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.2.2.1

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{3 (x^{3} \ln (x - 1))}{3 \cdot 3}]$

단계 1.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{3 (x^{3} \ln (x - 1))}{3 \cdot 3}]$

단계 1.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} \ln (x - 1)}{3}]$

단계 1.3

$\frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x^{3} \ln (x - 1)}{3}$ 의 미분은 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x - 1)]$ 입니다.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x - 1)]$

단계 2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = \ln (x - 1)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} (x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)] + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} (x^{3} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{3} (x^{3} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} (x^{3} (\frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$\frac{1}{x - 1}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1] + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4.2

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4.4

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} (1 + 0) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4.5

식을 간단히 합니다.

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단계 4.5.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} \cdot 1 + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4.5.2

$\frac{x^{3}}{x - 1}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4.6

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} + \ln (x - 1) (3 x^{2}))$

단계 5

공통 분모를 가지는 분수로 $\ln (x - 1) (3 x^{2})$ 을 표현하기 위해 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} + \frac{\ln (x - 1) (3 x^{2}) (x - 1)}{x - 1})$

단계 6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} + \ln (x - 1) (3 x^{2}) (x - 1)}{x - 1}$

단계 7

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{x^{3} + \ln (x - 1) (3 x^{2}) (x - 1)}{x - 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3} + \ln (x - 1) (3 x^{2}) (x - 1)}{3 (x - 1)}$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{3} + \ln (x - 1) (3 x^{2}) (x - 1)}{3 x + 3 \cdot - 1}$

단계 8.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 8.2.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{x^{3} + 3 \ln (x - 1) x^{2} (x - 1)}{3 x + 3 \cdot - 1}$

단계 8.2.1.2

$3$ 를 로그 안으로 옮겨 $3 \ln (x - 1)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} (x - 1)}{3 x + 3 \cdot - 1}$

단계 8.2.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} x + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} \cdot - 1}{3 x + 3 \cdot - 1}$

단계 8.2.1.4

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 8.2.1.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) (x \cdot x^{2}) + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} \cdot - 1}{3 x + 3 \cdot - 1}$

단계 8.2.1.4.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 8.2.1.4.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) (x^{1} x^{2}) + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} \cdot - 1}{3 x + 3 \cdot - 1}$

단계 8.2.1.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{1 + 2} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} \cdot - 1}{3 x + 3 \cdot - 1}$

단계 8.2.1.4.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} \cdot - 1}{3 x + 3 \cdot - 1}$

단계 8.2.1.5

$\ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{3} - 1 \cdot (\ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2})}{3 x + 3 \cdot - 1}$

단계 8.2.1.6

$- 1 (\ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2})$ 을 $- (\ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{3} - \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2}}{3 x + 3 \cdot - 1}$

단계 8.2.2

$x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{3} - \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{x^{3} + x^{3} \ln ({(x - 1)}^{3}) - x^{2} \ln ({(x - 1)}^{3})}{3 x + 3 \cdot - 1}$

단계 8.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3} + x^{3} \ln ({(x - 1)}^{3}) - x^{2} \ln ({(x - 1)}^{3})}{3 x - 3}$