미적분 예제

$\frac{1}{1 + e^{- x}}$

단계 1

$\frac{1}{1 + e^{- x}}$ 을 ${(1 + e^{- x})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(1 + e^{- x})}^{- 1}]$

단계 2

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = 1 + e^{- x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $1 + e^{- x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}]$

단계 2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}]$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $1 + e^{- x}$ 로 바꿉니다.

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}]$

단계 3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

합의 법칙에 의해 $1 + e^{- x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 가 됩니다.

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

단계 3.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

단계 3.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 에 더합니다.

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 4

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

단계 4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

단계 4.3

$u_{2}$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

단계 5

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

단계 5.2

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (\frac{d}{d x} [x]))$

단계 5.2.2

${(1 + e^{- x})}^{- 2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (\frac{d}{d x} [x]))$

단계 5.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x} \cdot 1$

단계 5.4

${(1 + e^{- x})}^{- 2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$

단계 6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

${(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$ 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{- x} {(1 + e^{- x})}^{- 2}$

단계 6.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$e^{- x} \frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$

단계 6.3

$e^{- x}$ 와 $\frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{- x}}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$