미적분 예제

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 6}$

단계 1

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 6}$ 을 ${(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 1}]$

단계 2

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{2} + 5 x + 6$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 5 x + 6$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 6]$

단계 2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 6]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 5 x + 6$ 로 바꿉니다.

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 6]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 5 x + 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6]$ 가 됩니다.

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

단계 3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

단계 3.3

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])$

단계 3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])$

단계 3.5

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5 + \frac{d}{d x} [6])$

단계 3.6

$6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $6$ 입니다.

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5 + 0)$

단계 3.7

$2 x + 5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5)$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}} (2 x + 5)$

단계 4.2

$- \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}} (2 x + 5)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- (2 x + 5) \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}}$

단계 4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(- (2 x) - 1 \cdot 5) \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}}$

단계 4.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(- 2 x - 1 \cdot 5) \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}}$

단계 4.5

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$(- 2 x - 5) \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}}$

단계 4.6

분모를 간단히 합니다.

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단계 4.6.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 5 x + 6$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.6.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $6$ 이고 합은 $5$ 입니다.

$2, 3$

단계 4.6.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(- 2 x - 5) \frac{1}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

단계 4.6.2

$(x + 2) (x + 3)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$(- 2 x - 5) \frac{1}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

단계 4.7

$- 2 x - 5$ 에 $\frac{1}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 x - 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

단계 4.8

$- 2 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (2 x) - 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

단계 4.9

$- 5$ 을 $- 1 (5)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (2 x) - 1 (5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

단계 4.10

$- (2 x) - 1 (5)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

단계 4.11

$- (2 x + 5)$ 을 $- 1 (2 x + 5)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

단계 4.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2 x + 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$