미적분 예제

$\frac{3 x^{7} - x^{3}}{x}$

단계 1

항을 간단히 합니다.

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단계 1.1

$3 x^{7} - x^{3}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.1.1

$3 x^{7}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} (3 x^{4}) - x^{3}}{x}]$

단계 1.1.2

$- x^{3}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} (3 x^{4}) + x^{3} \cdot - 1}{x}]$

단계 1.1.3

$x^{3} (3 x^{4}) + x^{3} \cdot - 1$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} (3 x^{4} - 1)}{x}]$

단계 1.2

$x^{3}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.1

$x^{3} (3 x^{4} - 1)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} (3 x^{4} - 1))}{x}]$

단계 1.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} (3 x^{4} - 1))}{x^{1}}]$

단계 1.2.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} (3 x^{4} - 1))}{x \cdot 1}]$

단계 1.2.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} (3 x^{4} - 1))}{x \cdot 1}]$

단계 1.2.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (3 x^{4} - 1)}{1}]$

단계 1.2.2.5

$x^{2} (3 x^{4} - 1)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (3 x^{4} - 1)]$

단계 2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = 3 x^{4} - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 1] + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $3 x^{4} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{4}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.3

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.4

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x^{2} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$x^{2} (12 x^{3} + 0) + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.6

$12 x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x^{2} (12 x^{3}) + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 4

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 4.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$x^{3} x^{2} \cdot 12 + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x^{3 + 2} \cdot 12 + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 4.3

$3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$x^{5} \cdot 12 + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 5

$x^{5}$ 의 왼쪽으로 $12$ 이동하기

$12 \cdot x^{5} + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 x^{5} + (3 x^{4} - 1) (2 x)$

단계 7

$3 x^{4} - 1$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$12 x^{5} + 2 \cdot (3 x^{4} - 1) x$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$12 x^{5} + (2 (3 x^{4}) + 2 \cdot - 1) x$

단계 8.2

분배 법칙을 적용합니다.

$12 x^{5} + 2 (3 x^{4}) x + 2 \cdot - 1 x$

단계 8.3

항을 묶습니다.

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단계 8.3.1

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$12 x^{5} + 6 x^{4} x + 2 \cdot - 1 x$

단계 8.3.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$12 x^{5} + 6 (x^{1} x^{4}) + 2 \cdot - 1 x$

단계 8.3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$12 x^{5} + 6 x^{1 + 4} + 2 \cdot - 1 x$

단계 8.3.4

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$12 x^{5} + 6 x^{5} + 2 \cdot - 1 x$

단계 8.3.5

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$12 x^{5} + 6 x^{5} - 2 x$

단계 8.3.6

$12 x^{5}$ 를 $6 x^{5}$ 에 더합니다.

$18 x^{5} - 2 x$