미적분 예제

$\frac{3 x^{2} + 2 e^{x}}{5 e^{x} - 4 x}$

단계 1

$f (x) = 3 x^{2} + 2 e^{x}$ , $g (x) = 5 e^{x} - 4 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 e^{x}] - (3 x^{2} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [5 e^{x} - 4 x]}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $3 x^{2} + 2 e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [5 e^{x} - 4 x]}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 2.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [5 e^{x} - 4 x]}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [5 e^{x} - 4 x]}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 2.4

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (6 x + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [5 e^{x} - 4 x]}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 2.5

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 e^{x}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 입니다.

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (6 x + 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [5 e^{x} - 4 x]}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (6 x + 2 e^{x}) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [5 e^{x} - 4 x]}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $5 e^{x} - 4 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ 가 됩니다.

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (6 x + 2 e^{x}) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) (\frac{d}{d x} [5 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 4.2

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 e^{x}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 입니다.

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (6 x + 2 e^{x}) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) (5 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 5

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (6 x + 2 e^{x}) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) (5 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 4 x])}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 6

미분합니다.

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단계 6.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (6 x + 2 e^{x}) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) (5 e^{x} - 4 \frac{d}{d x} [x])}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 6.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (6 x + 2 e^{x}) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) (5 e^{x} - 4 \cdot 1)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 6.3

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (6 x + 2 e^{x}) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (6 x + 2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 7.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.2.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(5 e^{x} - 4 x) (6 x + 2 e^{x})$ 를 전개합니다.

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단계 7.2.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{5 e^{x} (6 x + 2 e^{x}) - 4 x (6 x + 2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 7.2.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{5 e^{x} (6 x) + 5 e^{x} (2 e^{x}) - 4 x (6 x + 2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 7.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{5 e^{x} (6 x) + 5 e^{x} (2 e^{x}) - 4 x (6 x) - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 7.2.1.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 7.2.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.2.1.2.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{5 \cdot 6 e^{x} x + 5 e^{x} (2 e^{x}) - 4 x (6 x) - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 7.2.1.2.1.2

$5$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{30 e^{x} x + 5 e^{x} (2 e^{x}) - 4 x (6 x) - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 7.2.1.2.1.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{30 e^{x} x + 5 \cdot 2 e^{x} e^{x} - 4 x (6 x) - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 7.2.1.2.1.4

지수를 더하여 $e^{x}$ 에 $e^{x}$ 을 곱합니다.

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단계 7.2.1.2.1.4.1

$e^{x}$ 를 옮깁니다.

$\frac{30 e^{x} x + 5 \cdot 2 (e^{x} e^{x}) - 4 x (6 x) - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 7.2.1.2.1.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{30 e^{x} x + 5 \cdot 2 e^{x + x} - 4 x (6 x) - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 7.2.1.2.1.4.3

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{30 e^{x} x + 5 \cdot 2 e^{2 x} - 4 x (6 x) - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 7.2.1.2.1.5

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{30 e^{x} x + 10 e^{2 x} - 4 x (6 x) - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 7.2.1.2.1.6

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{30 e^{x} x + 10 e^{2 x} - 4 \cdot 6 x \cdot x - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 7.2.1.2.1.7

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.2.1.7.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{30 e^{x} x + 10 e^{2 x} - 4 \cdot 6 (x \cdot x) - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 7.2.1.2.1.7.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{30 e^{x} x + 10 e^{2 x} - 4 \cdot 6 x^{2} - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 7.2.1.2.1.8

$- 4$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{30 e^{x} x + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 7.2.1.2.1.9

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{30 e^{x} x + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 4 \cdot 2 x e^{x} + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 7.2.1.2.1.10

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{30 e^{x} x + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 8 x e^{x} + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 7.2.1.2.2

$30 e^{x} x$ 에서 $8 x e^{x}$ 을 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.2.2.1

$e^{x}$ 를 옮깁니다.

$\frac{30 x e^{x} - 8 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 7.2.1.2.2.2

$30 x e^{x}$ 에서 $8 x e^{x}$ 을 뺍니다.

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 7.2.1.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.3.1

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} + (- 3 x^{2} - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 7.2.1.3.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} + (- 3 x^{2} - 2 e^{x}) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 7.2.1.4

FOIL 계산법을 이용하여 $(- 3 x^{2} - 2 e^{x}) (5 e^{x} - 4)$ 를 전개합니다.

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단계 7.2.1.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 3 x^{2} (5 e^{x} - 4) - 2 e^{x} (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 7.2.1.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 3 x^{2} (5 e^{x}) - 3 x^{2} \cdot - 4 - 2 e^{x} (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 7.2.1.4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 3 x^{2} (5 e^{x}) - 3 x^{2} \cdot - 4 - 2 e^{x} (5 e^{x}) - 2 e^{x} \cdot - 4}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 7.2.1.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.5.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 3 \cdot 5 x^{2} e^{x} - 3 x^{2} \cdot - 4 - 2 e^{x} (5 e^{x}) - 2 e^{x} \cdot - 4}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 7.2.1.5.2

$- 3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} - 3 x^{2} \cdot - 4 - 2 e^{x} (5 e^{x}) - 2 e^{x} \cdot - 4}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 7.2.1.5.3

$- 4$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 12 x^{2} - 2 e^{x} (5 e^{x}) - 2 e^{x} \cdot - 4}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 7.2.1.5.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 12 x^{2} - 2 \cdot 5 e^{x} e^{x} - 2 e^{x} \cdot - 4}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 7.2.1.5.5

지수를 더하여 $e^{x}$ 에 $e^{x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.5.5.1

$e^{x}$ 를 옮깁니다.

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 12 x^{2} - 2 \cdot 5 (e^{x} e^{x}) - 2 e^{x} \cdot - 4}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 7.2.1.5.5.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 12 x^{2} - 2 \cdot 5 e^{x + x} - 2 e^{x} \cdot - 4}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 7.2.1.5.5.3

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 12 x^{2} - 2 \cdot 5 e^{2 x} - 2 e^{x} \cdot - 4}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 7.2.1.5.6

$- 2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 12 x^{2} - 10 e^{2 x} - 2 e^{x} \cdot - 4}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 7.2.1.5.7

$- 4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 12 x^{2} - 10 e^{2 x} + 8 e^{x}}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 7.2.2

$22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 12 x^{2} - 10 e^{2 x} + 8 e^{x}$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$10 e^{2 x}$ 에서 $10 e^{2 x}$ 을 뺍니다.

$\frac{22 x e^{x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 12 x^{2} + 0 + 8 e^{x}}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 7.2.2.2

$22 x e^{x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 12 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{22 x e^{x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 12 x^{2} + 8 e^{x}}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 7.2.3

$- 24 x^{2}$ 를 $12 x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{22 x e^{x} - 12 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 8 e^{x}}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

단계 7.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 12 x^{2} + 22 e^{x} x - 15 e^{x} x^{2} + 8 e^{x}}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$

단계 7.4

$- 12 x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (12 x^{2}) + 22 e^{x} x - 15 e^{x} x^{2} + 8 e^{x}}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$

단계 7.5

$22 e^{x} x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (12 x^{2}) - (- 22 e^{x} x) - 15 e^{x} x^{2} + 8 e^{x}}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$

단계 7.6

$- (12 x^{2}) - (- 22 e^{x} x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (12 x^{2} - 22 e^{x} x) - 15 e^{x} x^{2} + 8 e^{x}}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$

단계 7.7

$- 15 e^{x} x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (12 x^{2} - 22 e^{x} x) - (15 e^{x} x^{2}) + 8 e^{x}}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$

단계 7.8

$- (12 x^{2} - 22 e^{x} x) - (15 e^{x} x^{2})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (12 x^{2} - 22 e^{x} x + 15 e^{x} x^{2}) + 8 e^{x}}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$

단계 7.9

$8 e^{x}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (12 x^{2} - 22 e^{x} x + 15 e^{x} x^{2}) - (- 8 e^{x})}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$

단계 7.10

$- (12 x^{2} - 22 e^{x} x + 15 e^{x} x^{2}) - (- 8 e^{x})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (12 x^{2} - 22 e^{x} x + 15 e^{x} x^{2} - 8 e^{x})}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$

단계 7.11

$- (12 x^{2} - 22 e^{x} x + 15 e^{x} x^{2} - 8 e^{x})$ 을 $- 1 (12 x^{2} - 22 e^{x} x + 15 e^{x} x^{2} - 8 e^{x})$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (12 x^{2} - 22 e^{x} x + 15 e^{x} x^{2} - 8 e^{x})}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$

단계 7.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{12 x^{2} - 22 e^{x} x + 15 e^{x} x^{2} - 8 e^{x}}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$

단계 7.13

$- \frac{12 x^{2} - 22 e^{x} x + 15 e^{x} x^{2} - 8 e^{x}}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- \frac{12 x^{2} - 22 x e^{x} + 15 x^{2} e^{x} - 8 e^{x}}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$