미적분 예제

$\frac{2 x}{x^{2} - 3 y^{2}}$

단계 1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2 x}{x^{2} - 3 y^{2}}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 3 y^{2}}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 3 y^{2}}]$

단계 2

$f (x) = x$ , $g (x) = x^{2} - 3 y^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \frac{(x^{2} - 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 y^{2}]}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \frac{(x^{2} - 3 y^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 y^{2}]}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

단계 3.2

$x^{2} - 3 y^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 \frac{x^{2} - 3 y^{2} - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 y^{2}]}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

단계 3.3

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 3 y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$ 가 됩니다.

$2 \frac{x^{2} - 3 y^{2} - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}])}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

단계 3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \frac{x^{2} - 3 y^{2} - x (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}])}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

단계 3.5

$- 3 y^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3 y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3 y^{2}$ 입니다.

$2 \frac{x^{2} - 3 y^{2} - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

단계 3.6

식을 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 \frac{x^{2} - 3 y^{2} - x (2 x)}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

단계 3.6.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 \frac{x^{2} - 3 y^{2} - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

단계 4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 \frac{x^{2} - 3 y^{2} - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

단계 5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 \frac{x^{2} - 3 y^{2} - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

단계 6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 \frac{x^{2} - 3 y^{2} - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

단계 7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 \frac{x^{2} - 3 y^{2} - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

단계 8

$x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 을 뺍니다.

$2 \frac{- x^{2} - 3 y^{2}}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

단계 9

$2$ 와 $\frac{- x^{2} - 3 y^{2}}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 (- x^{2} - 3 y^{2})}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (- 3 y^{2})}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

단계 10.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 10.2.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 x^{2} + 2 (- 3 y^{2})}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

단계 10.2.2

$- 3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 x^{2} - 6 y^{2}}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

단계 10.3

$- 2 x^{2} - 6 y^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 10.3.1

$- 2 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- x^{2}) - 6 y^{2}}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

단계 10.3.2

$- 6 y^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (- 3 y^{2})}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

단계 10.3.3

$2 (- x^{2}) + 2 (- 3 y^{2})$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- x^{2} - 3 y^{2})}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

단계 10.4

$- x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (x^{2}) - 3 y^{2})}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

단계 10.5

$- 3 y^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (x^{2}) - (3 y^{2}))}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

단계 10.6

$- (x^{2}) - (3 y^{2})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (x^{2} + 3 y^{2}))}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

단계 10.7

$- (x^{2} + 3 y^{2})$ 을 $- 1 (x^{2} + 3 y^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 (- 1 (x^{2} + 3 y^{2}))}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$

단계 10.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2 (x^{2} + 3 y^{2})}{{(x^{2} - 3 y^{2})}^{2}}$