미적분 예제

$\frac{2 x y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

단계 1

$2 y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2 x y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ 의 미분은 $2 y \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}]$ 입니다.

$2 y \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}]$

단계 2

$f (x) = x$ , $g (x) = {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 y \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]}{{({(x^{2} + y^{2})}^{2})}^{2}}$

단계 3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

${({(x^{2} + y^{2})}^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$2 y \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2 \cdot 2}}$

단계 3.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 y \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 y \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

단계 3.3

${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 y \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

단계 4

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x^{2} + y^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + y^{2}$ 로 바꿉니다.

$2 y \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

단계 4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 y \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

단계 4.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + y^{2}$ 로 바꿉니다.

$2 y \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} - x (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

단계 5

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 y \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} - 2 x ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

단계 5.2

${(x^{2} + y^{2})}^{2} - 2 x ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$ 에서 $x^{2} + y^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.2.1

${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ 에서 $x^{2} + y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$2 y \frac{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2}) - 2 x ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

단계 5.2.2

$- 2 x ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$ 에서 $x^{2} + y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$2 y \frac{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2}) + (x^{2} + y^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]))}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

단계 5.2.3

$(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2}) + (x^{2} + y^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]))$ 에서 $x^{2} + y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$2 y \frac{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]))}{{(x^{2} + y^{2})}^{4}}$

단계 6

공약수로 약분합니다.

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단계 6.1

${(x^{2} + y^{2})}^{4}$ 에서 $x^{2} + y^{2}$ 를 인수분해합니다.

$2 y \frac{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]))}{(x^{2} + y^{2}) {(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

단계 6.2

공약수로 약분합니다.

$2 y \frac{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]))}{(x^{2} + y^{2}) {(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

단계 6.3

수식을 다시 씁니다.

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

단계 7

합의 법칙에 의해 $x^{2} + y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 가 됩니다.

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

단계 8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

단계 9

$y^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y^{2}$ 입니다.

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

단계 10

식을 간단히 합니다.

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단계 10.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

단계 10.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

단계 11

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

단계 12

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

단계 13

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

단계 14

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 y \frac{x^{2} + y^{2} - 4 x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

단계 15

$x^{2}$ 에서 $4 x^{2}$ 을 뺍니다.

$2 y \frac{- 3 x^{2} + y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

단계 16

$2$ 와 $\frac{- 3 x^{2} + y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$ 을 묶습니다.

$y \frac{2 (- 3 x^{2} + y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

단계 17

$y$ 와 $\frac{2 (- 3 x^{2} + y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{y (2 (- 3 x^{2} + y^{2}))}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

단계 18

간단히 합니다.

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단계 18.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{y (2 (- 3 x^{2}) + 2 y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

단계 18.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{y (2 (- 3 x^{2})) + y (2 y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

단계 18.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 18.3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 \cdot - 3 y x^{2} + y (2 y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

단계 18.3.2

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 6 y x^{2} + y (2 y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

단계 18.3.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{- 6 y x^{2} + 2 y \cdot y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

단계 18.3.4

지수를 더하여 $y$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 18.3.4.1

$y^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{- 6 y x^{2} + 2 (y^{2} y)}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

단계 18.3.4.2

$y^{2}$ 에 $y$ 을 곱합니다.

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단계 18.3.4.2.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- 6 y x^{2} + 2 (y^{2} y^{1})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

단계 18.3.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- 6 y x^{2} + 2 y^{2 + 1}}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

단계 18.3.4.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{- 6 y x^{2} + 2 y^{3}}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

단계 18.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{2 y^{3} - 6 x^{2} y}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

단계 18.5

$2 y^{3} - 6 x^{2} y$ 에서 $2 y$ 를 인수분해합니다.

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단계 18.5.1

$2 y^{3}$ 에서 $2 y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 y (y^{2}) - 6 x^{2} y}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

단계 18.5.2

$- 6 x^{2} y$ 에서 $2 y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 y (y^{2}) + 2 y (- 3 x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$

단계 18.5.3

$2 y (y^{2}) + 2 y (- 3 x^{2})$ 에서 $2 y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 y (y^{2} - 3 x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{3}}$