미적분 예제

$\frac{2 x + 1}{x^{2} + 1}$

단계 1

$f (x) = 2 x + 1$ , $g (x) = x^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $2 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{(x^{2} + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x^{2} + 1) (2 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.5

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{(x^{2} + 1) (2 + 0) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 2 - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.6.2

$x^{2} + 1$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 1) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.7

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1) - (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1) - (2 x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.9

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1) - (2 x + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.10

식을 간단히 합니다.

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단계 2.10.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1) - (2 x + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2.10.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 1) - 2 (2 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 1 - 2 (2 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 1 + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 1 - 2 (2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.4.1.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} + 2 - 2 (2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.4.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.4.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 x^{2} + 2 - 2 (2 (x \cdot x)) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.4.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} + 2 - 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.4.1.3

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} + 2 - 4 x^{2} - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.4.1.4

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} + 2 - 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.4.2

$2 x^{2}$ 에서 $4 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 2 x^{2} + 2 - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.6

$- 2 x^{2} - 2 x + 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.6.1

$- 2 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- x^{2}) - 2 x + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.6.2

$- 2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (- x) + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.6.3

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (- x) + 2 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.6.4

$2 (- x^{2}) + 2 (- x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- x^{2} - x) + 2 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.6.5

$2 (- x^{2} - x) + 2 (1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- x^{2} - x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.7

$- x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (x^{2}) - x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.8

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (x^{2}) - (x) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.9

$- (x^{2}) - (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (x^{2} + x) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.10

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 (- (x^{2} + x) - 1 (- 1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.11

$- (x^{2} + x) - 1 (- 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (x^{2} + x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.12

$- (x^{2} + x - 1)$ 을 $- 1 (x^{2} + x - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 (- 1 (x^{2} + x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.13

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2 (x^{2} + x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$