미적분 예제

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \sqrt[3]{4} x + \frac{2}{x^{2}}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \sqrt[3]{4} x + \frac{2}{x^{2}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$\frac{2}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 의 미분은 $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ 입니다.

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

단계 2.2

$n = \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

단계 2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

단계 2.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

단계 2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

단계 2.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

단계 2.6.2

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

단계 2.7

$\frac{3}{2}$ 와 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

단계 2.8

$\frac{2}{3}$ 에 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

단계 2.9

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

단계 2.10

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

단계 2.11

공약수로 약분합니다.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

단계 2.12

$x^{\frac{1}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{4} x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- \sqrt[3]{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \sqrt[3]{4} x$ 의 미분은 $- \sqrt[3]{4} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

단계 3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$

단계 4

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2}{x^{2}}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 입니다.

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

단계 4.2

$\frac{1}{x^{2}}$ 을 ${(x^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

단계 4.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} + 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.3.3

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} + 2 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} + 2 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

단계 4.5

${(x^{2})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} + 2 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

단계 4.5.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} + 2 (- x^{- 4} (2 x))$

단계 4.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} + 2 (- 2 x^{- 4} x)$

단계 4.7

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} + 2 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

단계 4.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} + 2 (- 2 x^{1 - 4})$

단계 4.9

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} + 2 (- 2 x^{- 3})$

단계 4.10

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} - 4 x^{- 3}$

단계 5

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} - 4 \frac{1}{x^{3}}$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

항을 묶습니다.

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단계 6.1.1

$- 4$ 와 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} + \frac{- 4}{x^{3}}$

단계 6.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4} - \frac{4}{x^{3}}$

단계 6.2

항을 다시 정렬합니다.

$- \frac{4}{x^{3}} + x^{\frac{1}{2}} - \sqrt[3]{4}$