미적분 예제

$\frac{7 x^{2}}{4 e^{x} - x}$

단계 1

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{7 x^{2}}{4 e^{x} - x}$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4 e^{x} - x}]$ 입니다.

$7 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4 e^{x} - x}]$

단계 2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = 4 e^{x} - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$7 \frac{(4 e^{x} - x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [4 e^{x} - x]}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$7 \frac{(4 e^{x} - x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [4 e^{x} - x]}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

단계 3.2

$4 e^{x} - x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$7 \frac{2 \cdot (4 e^{x} - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [4 e^{x} - x]}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

단계 3.3

합의 법칙에 의해 $4 e^{x} - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [4 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

단계 3.4

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 e^{x}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 입니다.

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

단계 4

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} + \frac{d}{d x} [- x])}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} - \frac{d}{d x} [x])}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

단계 5.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} - 1 \cdot 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

단계 5.3

분수를 통분합니다.

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단계 5.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

단계 5.3.2

$7$ 와 $\frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{7 (2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} - 1))}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{7 ((2 (4 e^{x}) + 2 (- x)) x - x^{2} (4 e^{x} - 1))}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

단계 6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{7 (2 (4 e^{x}) x + 2 (- x) x - x^{2} (4 e^{x} - 1))}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

단계 6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{7 (2 (4 e^{x}) x + 2 (- x) x - x^{2} (4 e^{x}) - x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

단계 6.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{7 (2 (4 e^{x}) x) + 7 (2 (- x) x) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

단계 6.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.5.1.1

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{7 (8 e^{x} x) + 7 (2 (- x) x) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

단계 6.5.1.2

$8$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{56 (e^{x} x) + 7 (2 (- x) x) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

단계 6.5.1.3

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 6.5.1.3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{56 e^{x} x + 7 (2 (- (x \cdot x))) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

단계 6.5.1.3.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{56 e^{x} x + 7 (2 (- x^{2})) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

단계 6.5.1.4

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{56 e^{x} x + 7 (- 2 x^{2}) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

단계 6.5.1.5

$- 2$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

단계 6.5.1.6

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} + 7 (- 1 \cdot 4 x^{2} e^{x}) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

단계 6.5.1.7

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} + 7 (- 4 x^{2} e^{x}) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

단계 6.5.1.8

$- 4$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} - 28 (x^{2} e^{x}) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

단계 6.5.1.9

$- x^{2} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

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단계 6.5.1.9.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} - 28 x^{2} e^{x} + 7 (1 x^{2})}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

단계 6.5.1.9.2

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} - 28 x^{2} e^{x} + 7 x^{2}}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

단계 6.5.2

$- 14 x^{2}$ 를 $7 x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{56 e^{x} x - 7 x^{2} - 28 x^{2} e^{x}}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

단계 6.5.3

$56 e^{x} x - 7 x^{2} - 28 x^{2} e^{x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{56 x e^{x} - 7 x^{2} - 28 x^{2} e^{x}}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

단계 6.6

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 7 x^{2} + 56 e^{x} x - 28 e^{x} x^{2}}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

단계 6.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.7.1

$- 7 x^{2} + 56 e^{x} x - 28 e^{x} x^{2}$ 에서 $7 x$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.7.1.1

$- 7 x^{2}$ 에서 $7 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{7 x (- x) + 56 e^{x} x - 28 e^{x} x^{2}}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

단계 6.7.1.2

$56 e^{x} x$ 에서 $7 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{7 x (- x) + 7 x (8 e^{x}) - 28 e^{x} x^{2}}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

단계 6.7.1.3

$- 28 e^{x} x^{2}$ 에서 $7 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{7 x (- x) + 7 x (8 e^{x}) + 7 x (- 4 e^{x} x)}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

단계 6.7.1.4

$7 x (- x) + 7 x (8 e^{x})$ 에서 $7 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{7 x (- x + 8 e^{x}) + 7 x (- 4 e^{x} x)}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

단계 6.7.1.5

$7 x (- x + 8 e^{x}) + 7 x (- 4 e^{x} x)$ 에서 $7 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{7 x (- x + 8 e^{x} - 4 e^{x} x)}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

단계 6.7.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{7 x (- 4 e^{x} x - x + 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

단계 6.8

$- 4 e^{x} x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{7 x (- (4 e^{x} x) - x + 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

단계 6.9

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{7 x (- (4 e^{x} x) - (x) + 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

단계 6.10

$- (4 e^{x} x) - (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{7 x (- (4 e^{x} x + x) + 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

단계 6.11

$8 e^{x}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{7 x (- (4 e^{x} x + x) - (- 8 e^{x}))}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

단계 6.12

$- (4 e^{x} x + x) - (- 8 e^{x})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{7 x (- (4 e^{x} x + x - 8 e^{x}))}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

단계 6.13

$- (4 e^{x} x + x - 8 e^{x})$ 을 $- 1 (4 e^{x} x + x - 8 e^{x})$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{7 x (- 1 (4 e^{x} x + x - 8 e^{x}))}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

단계 6.14

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{(7 x) (4 e^{x} x + x - 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

단계 6.15

$- \frac{(7 x) (4 e^{x} x + x - 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- \frac{7 x (4 x e^{x} + x - 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$