미적분 예제

$\frac{8 x^{5} - x^{2} + 8}{3 - x^{2}}$

단계 1

$f (x) = 8 x^{5} - x^{2} + 8$ , $g (x) = 3 - x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(3 - x^{2}) \frac{d}{d x} [8 x^{5} - x^{2} + 8] - (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $8 x^{5} - x^{2} + 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [8 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ 가 됩니다.

$\frac{(3 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [8 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.2

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x^{5}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 입니다.

$\frac{(3 - x^{2}) (8 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.3

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(3 - x^{2}) (8 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.4

$5$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.5

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - (2 x) + \frac{d}{d x} [8]) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.7

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x + \frac{d}{d x} [8]) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.8

$8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $8$ 입니다.

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x + 0) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.9

$40 x^{4} - 2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.10

합의 법칙에 의해 $3 - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.11

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.12

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 에 더합니다.

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.13

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x) - (8 x^{5} - x^{2} + 8) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.14

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.14.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x) + 1 (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.14.2

$8 x^{5} - x^{2} + 8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x) + (8 x^{5} - x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.15

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x) + (8 x^{5} - x^{2} + 8) (2 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.16

$8 x^{5} - x^{2} + 8$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x) + 2 \cdot (8 x^{5} - x^{2} + 8) x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x) + (2 (8 x^{5}) + 2 (- x^{2}) + 2 \cdot 8) x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(3 - x^{2}) (40 x^{4} - 2 x)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 (40 x^{4} - 2 x) - x^{2} (40 x^{4} - 2 x) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.3.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 (40 x^{4}) + 3 (- 2 x) - x^{2} (40 x^{4} - 2 x) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.3.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 (40 x^{4}) + 3 (- 2 x) - x^{2} (40 x^{4}) - x^{2} (- 2 x) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.3.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.2.1

$40$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{120 x^{4} + 3 (- 2 x) - x^{2} (40 x^{4}) - x^{2} (- 2 x) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.3.1.2.2

$- 2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{120 x^{4} - 6 x - x^{2} (40 x^{4}) - x^{2} (- 2 x) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.3.1.2.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 1 \cdot 40 x^{2} x^{4} - x^{2} (- 2 x) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.3.1.2.4

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

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단계 3.3.1.2.4.1

$x^{4}$ 를 옮깁니다.

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 1 \cdot 40 (x^{4} x^{2}) - x^{2} (- 2 x) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.3.1.2.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 1 \cdot 40 x^{4 + 2} - x^{2} (- 2 x) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.3.1.2.4.3

$4$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 1 \cdot 40 x^{6} - x^{2} (- 2 x) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.3.1.2.5

$- 1$ 에 $40$ 을 곱합니다.

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} - x^{2} (- 2 x) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.3.1.2.6

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} - 1 \cdot - 2 x^{2} x + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.3.1.2.7

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.2.7.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} - 1 \cdot - 2 (x \cdot x^{2}) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.3.1.2.7.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.2.7.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} - 1 \cdot - 2 (x^{1} x^{2}) + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.3.1.2.7.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} - 1 \cdot - 2 x^{1 + 2} + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.3.1.2.7.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} - 1 \cdot - 2 x^{3} + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.3.1.2.8

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 2 (8 x^{5}) x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.3.1.3

지수를 더하여 $x^{5}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 2 (8 (x \cdot x^{5})) + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.3.1.3.2

$x$ 에 $x^{5}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 2 (8 (x^{1} x^{5})) + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.3.1.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 2 (8 x^{1 + 5}) + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.3.1.3.3

$1$ 를 $5$ 에 더합니다.

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 2 (8 x^{6}) + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.3.1.4

$8$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 16 x^{6} + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.3.1.5

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 16 x^{6} + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.3.1.5.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.5.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 16 x^{6} + 2 (- (x^{1} x^{2})) + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.3.1.5.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 16 x^{6} + 2 (- x^{1 + 2}) + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.3.1.5.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 16 x^{6} + 2 (- x^{3}) + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.3.1.6

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 16 x^{6} - 2 x^{3} + 2 \cdot 8 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.3.1.7

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 16 x^{6} - 2 x^{3} + 16 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.3.2

$120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 2 x^{3} + 16 x^{6} - 2 x^{3} + 16 x$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 3.3.2.1

$2 x^{3}$ 에서 $2 x^{3}$ 을 뺍니다.

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 16 x^{6} + 0 + 16 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.3.2.2

$120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 16 x^{6}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{120 x^{4} - 6 x - 40 x^{6} + 16 x^{6} + 16 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.3.3

$- 6 x$ 를 $16 x$ 에 더합니다.

$\frac{120 x^{4} - 40 x^{6} + 16 x^{6} + 10 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.3.4

$- 40 x^{6}$ 를 $16 x^{6}$ 에 더합니다.

$\frac{120 x^{4} - 24 x^{6} + 10 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 24 x^{6} + 120 x^{4} + 10 x}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 3.5

$- 24 x^{6} + 120 x^{4} + 10 x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$- 24 x^{6}$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (- 12 x^{5}) + 120 x^{4} + 10 x}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 3.5.2

$120 x^{4}$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (- 12 x^{5}) + 2 x (60 x^{3}) + 10 x}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 3.5.3

$10 x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (- 12 x^{5}) + 2 x (60 x^{3}) + 2 x (5)}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 3.5.4

$2 x (- 12 x^{5}) + 2 x (60 x^{3})$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (- 12 x^{5} + 60 x^{3}) + 2 x (5)}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 3.5.5

$2 x (- 12 x^{5} + 60 x^{3}) + 2 x (5)$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (- 12 x^{5} + 60 x^{3} + 5)}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 3.6

$- 12 x^{5}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (- (12 x^{5}) + 60 x^{3} + 5)}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 3.7

$60 x^{3}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (- (12 x^{5}) - (- 60 x^{3}) + 5)}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 3.8

$- (12 x^{5}) - (- 60 x^{3})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (- (12 x^{5} - 60 x^{3}) + 5)}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 3.9

$5$ 을 $- 1 (- 5)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 x (- (12 x^{5} - 60 x^{3}) - 1 (- 5))}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 3.10

$- (12 x^{5} - 60 x^{3}) - 1 (- 5)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (- (12 x^{5} - 60 x^{3} - 5))}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 3.11

$- (12 x^{5} - 60 x^{3} - 5)$ 을 $- 1 (12 x^{5} - 60 x^{3} - 5)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 x (- 1 (12 x^{5} - 60 x^{3} - 5))}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 3.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{(2 x) (12 x^{5} - 60 x^{3} - 5)}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

단계 3.13

$- \frac{(2 x) (12 x^{5} - 60 x^{3} - 5)}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- \frac{2 x (12 x^{5} - 60 x^{3} - 5)}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$