미적분 예제

${\sec (2 x)}^{\cos (2 x)}$

단계 1

로그 성질을 사용하여 미분을 간단히 합니다.

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단계 1.1

${\sec (2 x)}^{\cos (2 x)}$ 을 $e^{\ln ({\sec (2 x)}^{\cos (2 x)})}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\sec (2 x)}^{\cos (2 x)})}]$

단계 1.2

$\cos (2 x)$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({\sec (2 x)}^{\cos (2 x)})$ 을 전개합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))}]$

단계 2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = \cos (2 x) \ln (\sec (2 x))$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))]$

단계 2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))]$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))$ 로 바꿉니다.

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))]$

단계 3

$f (x) = \cos (2 x)$ , $g (x) = \ln (\sec (2 x))$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (\sec (2 x))] + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

단계 4

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \sec (2 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\sec (2 x)$ 로 바꿉니다.

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

단계 4.2

$\ln (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{2}}$ 입니다.

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos (2 x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

단계 4.3

$u_{2}$ 를 모두 $\sec (2 x)$ 로 바꿉니다.

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos (2 x) (\frac{1}{\sec (2 x)} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

단계 5

$\sec (2 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos (2 x) (\frac{1}{\frac{1}{\cos (2 x)}} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

단계 6

$\frac{1}{\cos (2 x)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos (2 x) (1 \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

단계 7

$\cos (2 x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos (2 x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

단계 8

$\cos (2 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos^{1} (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)] + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

단계 9

$\cos (2 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)] + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

단계 10

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} ({\cos (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)] + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

단계 11

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)] + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

단계 12

$f (x) = \sec (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 12.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos^{2} (2 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

단계 12.2

$\sec (u_{3})$ 를 $u_{3}$ 에 대해 미분하면 $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ 입니다.

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos^{2} (2 x) (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

단계 12.3

$u_{3}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

단계 13

미분합니다.

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단계 13.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

단계 13.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1) + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

단계 13.3

식을 간단히 합니다.

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단계 13.3.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2 + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

단계 13.3.2

$\cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (2 \cdot (\cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x)) + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

단계 14

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 14.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{4}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (2 \cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) + \ln (\sec (2 x)) (\frac{d}{d u_{4}} [\cos (u_{4})] \frac{d}{d x} [2 x]))$

단계 14.2

$\cos (u_{4})$ 를 $u_{4}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{4})$ 입니다.

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (2 \cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) + \ln (\sec (2 x)) (- \sin (u_{4}) \frac{d}{d x} [2 x]))$

단계 14.3

$u_{4}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (2 \cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) + \ln (\sec (2 x)) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

단계 15

미분합니다.

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단계 15.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (2 \cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) + \ln (\sec (2 x)) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])))$

단계 15.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (2 \cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) + \ln (\sec (2 x)) (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]))$

단계 15.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (2 \cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) + \ln (\sec (2 x)) (- 2 \sin (2 x) \cdot 1))$

단계 15.4

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (2 \cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) + \ln (\sec (2 x)) (- 2 \sin (2 x)))$

단계 16

간단히 합니다.

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단계 16.1

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (2 \cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x)) + e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\ln (\sec (2 x)) (- 2 \sin (2 x)))$

단계 16.2

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) + e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \ln (\sec (2 x)) (- 2 \sin (2 x))$

단계 16.3

항을 다시 정렬합니다.

$2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) - 2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \sin (2 x) \ln (\sec (2 x))$

단계 16.4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 16.4.1

$\sec (2 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} \cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) - 2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \sin (2 x) \ln (\sec (2 x))$

단계 16.4.2

$\sec (2 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} \cos^{2} (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)} \tan (2 x) - 2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \sin (2 x) \ln (\sec (2 x))$

단계 16.4.3

$\cos (2 x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 16.4.3.1

$2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} \cos^{2} (2 x)$ 에서 $\cos (2 x)$ 를 인수분해합니다.

$\cos (2 x) (2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} \cos (2 x)) \frac{1}{\cos (2 x)} \tan (2 x) - 2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \sin (2 x) \ln (\sec (2 x))$

단계 16.4.3.2

공약수로 약분합니다.

$\cos (2 x) (2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} \cos (2 x)) \frac{1}{\cos (2 x)} \tan (2 x) - 2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \sin (2 x) \ln (\sec (2 x))$

단계 16.4.3.3

수식을 다시 씁니다.

$2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} \cos (2 x) \tan (2 x) - 2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \sin (2 x) \ln (\sec (2 x))$

단계 16.4.4

사인과 코사인으로 표현되도록 수식을 바꾸고 공약수를 소거합니다.

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단계 16.4.4.1

괄호를 표시합니다.

$2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} (\cos (2 x) \tan (2 x)) - 2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \sin (2 x) \ln (\sec (2 x))$

단계 16.4.4.2

$\cos (2 x)$ 와 $\tan (2 x)$ 을 다시 정렬합니다.

$2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} (\tan (2 x) \cos (2 x)) - 2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \sin (2 x) \ln (\sec (2 x))$

단계 16.4.4.3

$2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} \cos (2 x) \tan (2 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} (\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cos (2 x)) - 2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \sin (2 x) \ln (\sec (2 x))$

단계 16.4.4.4

공약수로 약분합니다.

$2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} \sin (2 x) - 2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \sin (2 x) \ln (\sec (2 x))$

단계 16.4.5

$\sec (2 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} \sin (2 x) - 2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} \sin (2 x) \ln (\sec (2 x))$

단계 16.4.6

$\sec (2 x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} \sin (2 x) - 2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} \sin (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})$

단계 16.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 16.5.1

$\frac{1}{\cos (2 x)}$ 을 $\sec (2 x)$ 로 변환합니다.

$2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \sin (2 x) - 2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} \sin (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})$

단계 16.5.2

$\frac{1}{\cos (2 x)}$ 을 $\sec (2 x)$ 로 변환합니다.

$2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \sin (2 x) - 2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \sin (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})$

단계 16.5.3

$\frac{1}{\cos (2 x)}$ 을 $\sec (2 x)$ 로 변환합니다.

$2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \sin (2 x) - 2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \sin (2 x) \ln (\sec (2 x))$