미적분 예제

$\frac{{(x^{3} - 7)}^{4}}{2 x^{3}}$

단계 1

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{{(x^{3} - 7)}^{4}}{2 x^{3}}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{{(x^{3} - 7)}^{4}}{x^{3}}]$ 입니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{{(x^{3} - 7)}^{4}}{x^{3}}]$

단계 2

$f (x) = {(x^{3} - 7)}^{4}$ , $g (x) = x^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 7)}^{4}] - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

단계 3

${(x^{3})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 7)}^{4}] - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

단계 3.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 7)}^{4}] - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

단계 4

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = x^{3} - 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{3} - 7$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 7]) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

단계 4.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} - 7]) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

단계 4.3

$u$ 를 모두 $x^{3} - 7$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 {(x^{3} - 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} - 7]) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} - 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 {(x^{3} - 7)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7])) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

단계 5.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7])) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

단계 5.3

$- 7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 7$ 입니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{2} + 0)) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

단계 5.4

식을 간단히 합니다.

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단계 5.4.1

$3 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{2})) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

단계 5.4.2

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (12 {(x^{3} - 7)}^{3} x^{2}) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

단계 6

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 6.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} x^{3} (12 {(x^{3} - 7)}^{3}) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

단계 6.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2 + 3} (12 {(x^{3} - 7)}^{3}) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

단계 6.3

$2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{5} (12 {(x^{3} - 7)}^{3}) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

단계 7

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{5} (12 {(x^{3} - 7)}^{3}) - {(x^{3} - 7)}^{4} (3 x^{2})}{x^{6}}$

단계 8

분수를 통분합니다.

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단계 8.1

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{5} (12 {(x^{3} - 7)}^{3}) - 3 {(x^{3} - 7)}^{4} x^{2}}{x^{6}}$

단계 8.2

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{x^{5} (12 {(x^{3} - 7)}^{3}) - 3 {(x^{3} - 7)}^{4} x^{2}}{x^{6}}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{5} (12 {(x^{3} - 7)}^{3}) - 3 {(x^{3} - 7)}^{4} x^{2}}{2 x^{6}}$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 9.1.1

$x^{5} (12 {(x^{3} - 7)}^{3}) - 3 {(x^{3} - 7)}^{4} x^{2}$ 에서 $x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

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단계 9.1.1.1

$x^{5} (12 {(x^{3} - 7)}^{3})$ 에서 $x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (x^{3} \cdot (4)) - 3 {(x^{3} - 7)}^{4} x^{2}}{2 x^{6}}$

단계 9.1.1.2

$- 3 {(x^{3} - 7)}^{4} x^{2}$ 에서 $x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (x^{3} \cdot (4)) + x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (- (x^{3} - 7))}{2 x^{6}}$

단계 9.1.1.3

$x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (x^{3} \cdot (4)) + x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (- (x^{3} - 7))$ 에서 $x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (x^{3} \cdot (4) - (x^{3} - 7))}{2 x^{6}}$

단계 9.1.2

$x^{3}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (4 \cdot x^{3} - (x^{3} - 7))}{2 x^{6}}$

단계 9.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (4 x^{3} - x^{3} - - 7)}{2 x^{6}}$

단계 9.1.4

$- 1$ 에 $- 7$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (4 x^{3} - x^{3} + 7)}{2 x^{6}}$

단계 9.1.5

$4 x^{3}$ 에서 $x^{3}$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{3} + 7)}{2 x^{6}}$

단계 9.2

항을 묶습니다.

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단계 9.2.1

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{3 \cdot x^{2} {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{3} + 7)}{2 x^{6}}$

단계 9.2.2

$x^{2}$ 및 $x^{6}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 9.2.2.1

$3 x^{2} {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{3} + 7)$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} (3 {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{3} + 7))}{2 x^{6}}$

단계 9.2.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 9.2.2.2.1

$2 x^{6}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} (3 {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{3} + 7))}{x^{2} (2 x^{4})}$

단계 9.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{2} (3 {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{3} + 7))}{x^{2} (2 x^{4})}$

단계 9.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{3} + 7)}{2 x^{4}}$