미적분 예제

$\frac{x + 3}{{(x - 3)}^{5}}$

단계 1

$f (x) = x + 3$ , $g (x) = {(x - 3)}^{5}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{({(x - 3)}^{5})}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

${({(x - 3)}^{5})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{{(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{5 \cdot 2}}$

단계 2.1.2

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{{(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{10}}$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $x + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{{(x - 3)}^{5} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{10}}$

단계 2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(x - 3)}^{5} (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{10}}$

단계 2.4

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$\frac{{(x - 3)}^{5} (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{10}}$

단계 2.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{{(x - 3)}^{5} \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{10}}$

단계 2.5.2

${(x - 3)}^{5}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{{(x - 3)}^{5} - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{10}}$

단계 3

$f (x) = x^{5}$ , $g (x) = x - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 3$ 로 바꿉니다.

$\frac{{(x - 3)}^{5} - (x + 3) (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{10}}$

단계 3.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(x - 3)}^{5} - (x + 3) (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{10}}$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $x - 3$ 로 바꿉니다.

$\frac{{(x - 3)}^{5} - (x + 3) (5 {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{10}}$

단계 4

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{{(x - 3)}^{5} - 5 (x + 3) ({(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{10}}$

단계 4.2

${(x - 3)}^{5} - 5 (x + 3) ({(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 3])$ 에서 ${(x - 3)}^{4}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

${(x - 3)}^{5}$ 에서 ${(x - 3)}^{4}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(x - 3)}^{4} (x - 3) - 5 (x + 3) ({(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{10}}$

단계 4.2.2

$- 5 (x + 3) ({(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 3])$ 에서 ${(x - 3)}^{4}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(x - 3)}^{4} (x - 3) + {(x - 3)}^{4} (- 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x - 3]))}{{(x - 3)}^{10}}$

단계 4.2.3

${(x - 3)}^{4} (x - 3) + {(x - 3)}^{4} (- 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x - 3]))$ 에서 ${(x - 3)}^{4}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(x - 3)}^{4} (x - 3 - 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x - 3]))}{{(x - 3)}^{10}}$

단계 5

공약수로 약분합니다.

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단계 5.1

${(x - 3)}^{10}$ 에서 ${(x - 3)}^{4}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(x - 3)}^{4} (x - 3 - 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x - 3]))}{{(x - 3)}^{4} {(x - 3)}^{6}}$

단계 5.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{{(x - 3)}^{4} (x - 3 - 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x - 3]))}{{(x - 3)}^{4} {(x - 3)}^{6}}$

단계 5.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x - 3 - 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{6}}$

단계 6

합의 법칙에 의해 $x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$\frac{x - 3 - 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{6}}$

단계 7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x - 3 - 5 (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{6}}$

단계 8

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$\frac{x - 3 - 5 (x + 3) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{6}}$

단계 9

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x - 3 - 5 (x + 3) \cdot 1}{{(x - 3)}^{6}}$

단계 9.2

$- 5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x - 3 - 5 (x + 3)}{{(x - 3)}^{6}}$

단계 10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x - 3 - 5 x - 5 \cdot 3}{{(x - 3)}^{6}}$

단계 10.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

$- 5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{x - 3 - 5 x - 15}{{(x - 3)}^{6}}$

단계 10.2.2

$x$ 에서 $5 x$ 을 뺍니다.

$\frac{- 4 x - 3 - 15}{{(x - 3)}^{6}}$

단계 10.2.3

$- 3$ 에서 $15$ 을 뺍니다.

$\frac{- 4 x - 18}{{(x - 3)}^{6}}$

단계 10.3

$- 4 x - 18$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1

$- 4 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 2 x) - 18}{{(x - 3)}^{6}}$

단계 10.3.2

$- 18$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 2 x) + 2 (- 9)}{{(x - 3)}^{6}}$

단계 10.3.3

$2 (- 2 x) + 2 (- 9)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 2 x - 9)}{{(x - 3)}^{6}}$

단계 10.4

$- 2 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (2 x) - 9)}{{(x - 3)}^{6}}$

단계 10.5

$- 9$ 을 $- 1 (9)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 (- (2 x) - 1 (9))}{{(x - 3)}^{6}}$

단계 10.6

$- (2 x) - 1 (9)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- (2 x + 9))}{{(x - 3)}^{6}}$

단계 10.7

$- (2 x + 9)$ 을 $- 1 (2 x + 9)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 (- 1 (2 x + 9))}{{(x - 3)}^{6}}$

단계 10.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2 (2 x + 9)}{{(x - 3)}^{6}}$