미적분 예제

$\frac{d^{2}}{d x^{2}} \cdot (3 x^{4} + 4 x^{2})$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $3 x^{4} + 4 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{4}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

단계 1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

단계 1.2.3

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{2}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$12 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 x^{3} + 4 (2 x)$

단계 1.3.3

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 12 x^{3} + 8 x$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $12 x^{3} + 8 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $12 x^{3}$ 의 미분은 $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

단계 2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8 x]$

단계 2.2.3

$3$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$36 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [8 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$36 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$36 x^{2} + 8 \cdot 1$

단계 2.3.3

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 36 x^{2} + 8$