미적분 예제

$\frac{e^{x}}{7 x^{2} + 7}$

단계 1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 7 x^{2} + 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(7 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 7]}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 7]}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $7 x^{2} + 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ 가 됩니다.

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.2

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 x^{2}$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [7])}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.4

$2$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} (14 x + \frac{d}{d x} [7])}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.5

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} (14 x + 0)}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.6

식을 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$14 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} (14 x)}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 3.6.2

$14$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - 14 e^{x} x}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{7 x^{2} e^{x} + 7 e^{x} - 14 e^{x} x}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 4.2

$7 x^{2} e^{x} + 7 e^{x} - 14 e^{x} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{7 x^{2} e^{x} + 7 e^{x} - 14 x e^{x}}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 4.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{7 e^{x} x^{2} - 14 e^{x} x + 7 e^{x}}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 4.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.4.1

$7 e^{x} x^{2} - 14 e^{x} x + 7 e^{x}$ 에서 $7 e^{x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.4.1.1

$7 e^{x} x^{2}$ 에서 $7 e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{7 e^{x} (x^{2}) - 14 e^{x} x + 7 e^{x}}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 4.4.1.2

$- 14 e^{x} x$ 에서 $7 e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{7 e^{x} (x^{2}) + 7 e^{x} (- 2 x) + 7 e^{x}}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 4.4.1.3

$7 e^{x}$ 에서 $7 e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{7 e^{x} (x^{2}) + 7 e^{x} (- 2 x) + 7 e^{x} (1)}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 4.4.1.4

$7 e^{x} (x^{2}) + 7 e^{x} (- 2 x)$ 에서 $7 e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{7 e^{x} (x^{2} - 2 x) + 7 e^{x} (1)}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 4.4.1.5

$7 e^{x} (x^{2} - 2 x) + 7 e^{x} (1)$ 에서 $7 e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{7 e^{x} (x^{2} - 2 x + 1)}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 4.4.2

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 4.4.2.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{7 e^{x} (x^{2} - 2 x + 1^{2})}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 4.4.2.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

단계 4.4.2.3

다항식을 다시 씁니다.

$\frac{7 e^{x} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 4.4.2.4

$a = x$ 이고 $b = 1$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$\frac{7 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

단계 4.5

분모를 간단히 합니다.

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단계 4.5.1

$7 x^{2} + 7$ 에서 $7$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.5.1.1

$7 x^{2}$ 에서 $7$ 를 인수분해합니다.

$\frac{7 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{{(7 (x^{2}) + 7)}^{2}}$

단계 4.5.1.2

$7$ 에서 $7$ 를 인수분해합니다.

$\frac{7 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{{(7 (x^{2}) + 7 (1))}^{2}}$

단계 4.5.1.3

$7 (x^{2}) + 7 (1)$ 에서 $7$ 를 인수분해합니다.

$\frac{7 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{{(7 (x^{2} + 1))}^{2}}$

단계 4.5.2

$7 (x^{2} + 1)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{7 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{7^{2} {(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.5.3

$7$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{7 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{49 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.6

$7$ 및 $49$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.6.1

$7 e^{x} {(x - 1)}^{2}$ 에서 $7$ 를 인수분해합니다.

$\frac{7 (e^{x} {(x - 1)}^{2})}{49 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.6.2.1

$49 {(x^{2} + 1)}^{2}$ 에서 $7$ 를 인수분해합니다.

$\frac{7 (e^{x} {(x - 1)}^{2})}{7 (7 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

단계 4.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{7 (e^{x} {(x - 1)}^{2})}{7 (7 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

단계 4.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{e^{x} {(x - 1)}^{2}}{7 {(x^{2} + 1)}^{2}}$