미적분 예제

$\frac{e^{x}}{1 - e^{x}}$

단계 1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 1 - e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

단계 2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $1 - e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

단계 3.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

단계 3.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ 에 더합니다.

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [- e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

단계 3.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- e^{x}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 입니다.

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} - e^{x} (- \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

단계 3.5

곱합니다.

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단계 3.5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} + 1 e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

단계 3.5.2

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

단계 4

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} + e^{x} e^{x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

단계 5

지수를 더하여 $e^{x}$ 에 $e^{x}$ 을 곱합니다.

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단계 5.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} + e^{x + x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

단계 5.2

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} + e^{2 x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1 e^{x} - e^{x} e^{x} + e^{2 x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

단계 6.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1.1

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{x} - e^{x} e^{x} + e^{2 x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

단계 6.2.1.2

지수를 더하여 $e^{x}$ 에 $e^{x}$ 을 곱합니다.

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단계 6.2.1.2.1

$e^{x}$ 를 옮깁니다.

$\frac{e^{x} - (e^{x} e^{x}) + e^{2 x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

단계 6.2.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{e^{x} - e^{x + x} + e^{2 x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

단계 6.2.1.2.3

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{e^{x} - e^{2 x} + e^{2 x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

단계 6.2.2

$e^{x} - e^{2 x} + e^{2 x}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 6.2.2.1

$- e^{2 x}$ 를 $e^{2 x}$ 에 더합니다.

$\frac{e^{x} + 0}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

단계 6.2.2.2

$e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{e^{x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$