미적분 예제

$\frac{x^{2}}{8 - 3 x}$

단계 1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = 8 - 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(8 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [8 - 3 x]}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(8 - 3 x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [8 - 3 x]}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

단계 2.2

$8 - 3 x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot (8 - 3 x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [8 - 3 x]}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

단계 2.3

합의 법칙에 의해 $8 - 3 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ 가 됩니다.

$\frac{2 (8 - 3 x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 3 x])}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

단계 2.4

$8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $8$ 입니다.

$\frac{2 (8 - 3 x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x])}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

단계 2.5

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 에 더합니다.

$\frac{2 (8 - 3 x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [- 3 x]}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

단계 2.6

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{2 (8 - 3 x) x - x^{2} (- 3 \frac{d}{d x} [x])}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

단계 2.7

$- 3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (8 - 3 x) x + 3 x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

단계 2.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 (8 - 3 x) x + 3 x^{2} \cdot 1}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

단계 2.9

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (8 - 3 x) x + 3 x^{2}}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 \cdot 8 + 2 (- 3 x)) x + 3 x^{2}}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 \cdot 8 x + 2 (- 3 x) x + 3 x^{2}}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

단계 3.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1.1

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{16 x + 2 (- 3 x) x + 3 x^{2}}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

단계 3.3.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.3.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{16 x + 2 (- 3 (x \cdot x)) + 3 x^{2}}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

단계 3.3.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{16 x + 2 (- 3 x^{2}) + 3 x^{2}}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

단계 3.3.1.3

$- 3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{16 x - 6 x^{2} + 3 x^{2}}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

단계 3.3.2

$- 6 x^{2}$ 를 $3 x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{16 x - 3 x^{2}}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

단계 3.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 3 x^{2} + 16 x}{{(- 3 x + 8)}^{2}}$

단계 3.5

$- 3 x^{2} + 16 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.5.1

$- 3 x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (- 3 x) + 16 x}{{(- 3 x + 8)}^{2}}$

단계 3.5.2

$16 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (- 3 x) + x \cdot 16}{{(- 3 x + 8)}^{2}}$

단계 3.5.3

$x (- 3 x) + x \cdot 16$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (- 3 x + 16)}{{(- 3 x + 8)}^{2}}$

단계 3.6

$- 3 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (- (3 x) + 16)}{{(- 3 x + 8)}^{2}}$

단계 3.7

$16$ 을 $- 1 (- 16)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x (- (3 x) - 1 (- 16))}{{(- 3 x + 8)}^{2}}$

단계 3.8

$- (3 x) - 1 (- 16)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (- (3 x - 16))}{{(- 3 x + 8)}^{2}}$

단계 3.9

$- (3 x - 16)$ 을 $- 1 (3 x - 16)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x (- 1 (3 x - 16))}{{(- 3 x + 8)}^{2}}$

단계 3.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{x (3 x - 16)}{{(- 3 x + 8)}^{2}}$