미적분 예제

$\frac{x^{2} + 5 x - 1}{x^{2}}$

단계 1

$f (x) = x^{2} + 5 x - 1$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x - 1] - (x^{2} + 5 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

${(x^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x - 1] - (x^{2} + 5 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

단계 2.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x - 1] - (x^{2} + 5 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 5 x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 5 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 5 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 2.4

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{x^{2} (2 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 5 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2} (2 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 5 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 2.6

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} (2 x + 5 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 5 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 2.7

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{x^{2} (2 x + 5 + 0) - (x^{2} + 5 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 2.8

$2 x + 5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 2.9

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2} (2 x + 5) - (x^{2} + 5 x - 1) (2 x)}{x^{4}}$

단계 2.10

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.10.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} (2 x + 5) - 2 (x^{2} + 5 x - 1) x}{x^{4}}$

단계 2.10.2

$x^{2} (2 x + 5) - 2 (x^{2} + 5 x - 1) x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.10.2.1

$x^{2} (2 x + 5)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (x (2 x + 5)) - 2 (x^{2} + 5 x - 1) x}{x^{4}}$

단계 2.10.2.2

$- 2 (x^{2} + 5 x - 1) x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (x (2 x + 5)) + x (- 2 (x^{2} + 5 x - 1))}{x^{4}}$

단계 2.10.2.3

$x (x (2 x + 5)) + x (- 2 (x^{2} + 5 x - 1))$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (x (2 x + 5) - 2 (x^{2} + 5 x - 1))}{x^{4}}$

단계 3

공약수로 약분합니다.

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단계 3.1

$x^{4}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (x (2 x + 5) - 2 (x^{2} + 5 x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

단계 3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x (x (2 x + 5) - 2 (x^{2} + 5 x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

단계 3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x (2 x + 5) - 2 (x^{2} + 5 x - 1)}{x^{3}}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 5 - 2 (x^{2} + 5 x - 1)}{x^{3}}$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 5 - 2 x^{2} - 2 (5 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

단계 4.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 5 - 2 x^{2} - 2 (5 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

단계 4.3.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.3.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot 5 - 2 x^{2} - 2 (5 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

단계 4.3.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} + x \cdot 5 - 2 x^{2} - 2 (5 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

단계 4.3.1.3

$x$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$\frac{2 x^{2} + 5 \cdot x - 2 x^{2} - 2 (5 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

단계 4.3.1.4

$5$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 2 x^{2} - 10 x - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

단계 4.3.1.5

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 2 x^{2} - 10 x + 2}{x^{3}}$

단계 4.3.2

$2 x^{2} + 5 x - 2 x^{2} - 10 x + 2$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 4.3.2.1

$2 x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{5 x + 0 - 10 x + 2}{x^{3}}$

단계 4.3.2.2

$5 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{5 x - 10 x + 2}{x^{3}}$

단계 4.3.3

$5 x$ 에서 $10 x$ 을 뺍니다.

$\frac{- 5 x + 2}{x^{3}}$

단계 4.4

$- 5 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (5 x) + 2}{x^{3}}$

단계 4.5

$2$ 을 $- 1 (- 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (5 x) - 1 (- 2)}{x^{3}}$

단계 4.6

$- (5 x) - 1 (- 2)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (5 x - 2)}{x^{3}}$

단계 4.7

$- (5 x - 2)$ 을 $- 1 (5 x - 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (5 x - 2)}{x^{3}}$

단계 4.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{5 x - 2}{x^{3}}$