미적분 예제

$3 x {(16 - x)}^{3}$

단계 1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x {(16 - x)}^{3}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x {(16 - x)}^{3}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x {(16 - x)}^{3}]$

단계 2

$f (x) = x$ , $g (x) = {(16 - x)}^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x \frac{d}{d x} [{(16 - x)}^{3}] + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = 16 - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $16 - x$ 로 바꿉니다.

$3 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [16 - x]) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [16 - x]) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $16 - x$ 로 바꿉니다.

$3 (x (3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [16 - x]) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $16 - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$3 (x (3 {(16 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.2

$16$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $16$ 입니다.

$3 (x (3 {(16 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x]$ 에 더합니다.

$3 (x (3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [- x]) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 (x (3 {(16 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.5

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2} \cdot 1) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.7

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3} \cdot 1)$

단계 4.9

${(16 - x)}^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3})$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2})) + 3 {(16 - x)}^{3}$

단계 5.2

$- 3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 9 (x ({(16 - x)}^{2})) + 3 {(16 - x)}^{3}$

단계 5.3

$- 9 x {(16 - x)}^{2} + 3 {(16 - x)}^{3}$ 에서 $3 {(16 - x)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.3.1

$- 9 x {(16 - x)}^{2}$ 에서 $3 {(16 - x)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x) + 3 {(16 - x)}^{3}$

단계 5.3.2

$3 {(16 - x)}^{3}$ 에서 $3 {(16 - x)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x) + 3 {(16 - x)}^{2} (16 - x)$

단계 5.3.3

$3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x) + 3 {(16 - x)}^{2} (16 - x)$ 에서 $3 {(16 - x)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x + 16 - x)$

단계 5.4

$- 3 x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$3 {(16 - x)}^{2} (- 4 x + 16)$

단계 5.5

${(16 - x)}^{2}$ 을 $(16 - x) (16 - x)$ 로 바꿔 씁니다.

$3 ((16 - x) (16 - x)) (- 4 x + 16)$

단계 5.6

FOIL 계산법을 이용하여 $(16 - x) (16 - x)$ 를 전개합니다.

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단계 5.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$3 (16 (16 - x) - x (16 - x)) (- 4 x + 16)$

단계 5.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$3 (16 \cdot 16 + 16 (- x) - x (16 - x)) (- 4 x + 16)$

단계 5.6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$3 (16 \cdot 16 + 16 (- x) - x \cdot 16 - x (- x)) (- 4 x + 16)$

단계 5.7

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.7.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.7.1.1

$16$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$3 (256 + 16 (- x) - x \cdot 16 - x (- x)) (- 4 x + 16)$

단계 5.7.1.2

$- 1$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$3 (256 - 16 x - x \cdot 16 - x (- x)) (- 4 x + 16)$

단계 5.7.1.3

$16$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$3 (256 - 16 x - 16 x - x (- x)) (- 4 x + 16)$

단계 5.7.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$3 (256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) (- 4 x + 16)$

단계 5.7.1.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 5.7.1.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$3 (256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) (- 4 x + 16)$

단계 5.7.1.5.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$3 (256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 x^{2}) (- 4 x + 16)$

단계 5.7.1.6

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$3 (256 - 16 x - 16 x + 1 x^{2}) (- 4 x + 16)$

단계 5.7.1.7

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 (256 - 16 x - 16 x + x^{2}) (- 4 x + 16)$

단계 5.7.2

$- 16 x$ 에서 $16 x$ 을 뺍니다.

$3 (256 - 32 x + x^{2}) (- 4 x + 16)$

단계 5.8

분배 법칙을 적용합니다.

$(3 \cdot 256 + 3 (- 32 x) + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$

단계 5.9

간단히 합니다.

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단계 5.9.1

$3$ 에 $256$ 을 곱합니다.

$(768 + 3 (- 32 x) + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$

단계 5.9.2

$- 32$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$(768 - 96 x + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$

단계 5.10

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(768 - 96 x + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$ 를 전개합니다.

$768 (- 4 x) + 768 \cdot 16 - 96 x (- 4 x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

단계 5.11

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.11.1

$- 4$ 에 $768$ 을 곱합니다.

$- 3072 x + 768 \cdot 16 - 96 x (- 4 x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

단계 5.11.2

$768$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$- 3072 x + 12288 - 96 x (- 4 x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

단계 5.11.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- 3072 x + 12288 - 96 \cdot - 4 x \cdot x - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

단계 5.11.4

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 5.11.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$- 3072 x + 12288 - 96 \cdot - 4 (x \cdot x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

단계 5.11.4.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$- 3072 x + 12288 - 96 \cdot - 4 x^{2} - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

단계 5.11.5

$- 96$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

단계 5.11.6

$16$ 에 $- 96$ 을 곱합니다.

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

단계 5.11.7

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot - 4 x^{2} x + 3 x^{2} \cdot 16$

단계 5.11.8

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 5.11.8.1

$x$ 를 옮깁니다.

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot - 4 (x \cdot x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 16$

단계 5.11.8.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 5.11.8.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot - 4 (x^{1} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 16$

단계 5.11.8.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot - 4 x^{1 + 2} + 3 x^{2} \cdot 16$

단계 5.11.8.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot - 4 x^{3} + 3 x^{2} \cdot 16$

단계 5.11.9

$3$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x - 12 x^{3} + 3 x^{2} \cdot 16$

단계 5.11.10

$16$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x - 12 x^{3} + 48 x^{2}$

단계 5.12

$- 3072 x$ 에서 $1536 x$ 을 뺍니다.

$- 4608 x + 12288 + 384 x^{2} - 12 x^{3} + 48 x^{2}$

단계 5.13

$384 x^{2}$ 를 $48 x^{2}$ 에 더합니다.

$- 4608 x + 12288 - 12 x^{3} + 432 x^{2}$