미적분 예제

$\frac{4 x}{3 x^{2} + 27}$

단계 1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{4 x}{3 x^{2} + 27}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x^{2} + 27}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x^{2} + 27}]$

단계 2

$f (x) = x$ , $g (x) = 3 x^{2} + 27$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \frac{(3 x^{2} + 27) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 27]}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \frac{(3 x^{2} + 27) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 27]}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

단계 3.2

$3 x^{2} + 27$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 27]}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

단계 3.3

합의 법칙에 의해 $3 x^{2} + 27$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ 가 됩니다.

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27])}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

단계 3.4

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27])}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

단계 3.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [27])}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

단계 3.6

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (6 x + \frac{d}{d x} [27])}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

단계 3.7

$27$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $27$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $27$ 입니다.

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (6 x + 0)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

단계 3.8

식을 간단히 합니다.

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단계 3.8.1

$6 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (6 x)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

단계 3.8.2

$6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - 6 x \cdot x}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

단계 4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - 6 (x^{1} x)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

단계 5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - 6 (x^{1} x^{1})}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

단계 6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - 6 x^{1 + 1}}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

단계 7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - 6 x^{2}}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

단계 8

$3 x^{2}$ 에서 $6 x^{2}$ 을 뺍니다.

$4 \frac{- 3 x^{2} + 27}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

단계 9

$4$ 와 $\frac{- 3 x^{2} + 27}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 (- 3 x^{2} + 27)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 (- 3 x^{2}) + 4 \cdot 27}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

단계 10.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 10.2.1

$- 3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{- 12 x^{2} + 4 \cdot 27}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

단계 10.2.2

$4$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$\frac{- 12 x^{2} + 108}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

단계 10.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 10.3.1

$- 12 x^{2} + 108$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

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단계 10.3.1.1

$- 12 x^{2}$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$\frac{12 (- x^{2}) + 108}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

단계 10.3.1.2

$108$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$\frac{12 (- x^{2}) + 12 (9)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

단계 10.3.1.3

$12 (- x^{2}) + 12 (9)$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$\frac{12 (- x^{2} + 9)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

단계 10.3.2

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{12 (- x^{2} + 3^{2})}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

단계 10.3.3

$- x^{2}$ 와 $3^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{12 (3^{2} - x^{2})}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

단계 10.3.4

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 3$ 이고 $b = x$ 입니다.

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

단계 10.4

분모를 간단히 합니다.

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단계 10.4.1

$3 x^{2} + 27$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

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단계 10.4.1.1

$3 x^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{{(3 (x^{2}) + 27)}^{2}}$

단계 10.4.1.2

$27$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{{(3 x^{2} + 3 \cdot 9)}^{2}}$

단계 10.4.1.3

$3 x^{2} + 3 \cdot 9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{{(3 (x^{2} + 9))}^{2}}$

단계 10.4.2

$3 (x^{2} + 9)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{3^{2} {(x^{2} + 9)}^{2}}$

단계 10.4.3

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{9 {(x^{2} + 9)}^{2}}$

단계 10.5

$12$ 및 $9$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 10.5.1

$12 (3 + x) (3 - x)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (4 (3 + x) (3 - x))}{9 {(x^{2} + 9)}^{2}}$

단계 10.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 10.5.2.1

$9 {(x^{2} + 9)}^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (4 (3 + x) (3 - x))}{3 (3 {(x^{2} + 9)}^{2})}$

단계 10.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 (4 (3 + x) (3 - x))}{3 (3 {(x^{2} + 9)}^{2})}$

단계 10.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4 (3 + x) (3 - x)}{3 {(x^{2} + 9)}^{2}}$