미적분 예제

$\frac{8 e^{6 x}}{5 x + 2}$

단계 1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{8 e^{6 x}}{5 x + 2}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{6 x}}{5 x + 2}]$ 입니다.

$8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{6 x}}{5 x + 2}]$

단계 2

$f (x) = e^{6 x}$ , $g (x) = 5 x + 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 \frac{(5 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{6 x}] - e^{6 x} \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

단계 3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 6 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $6 x$ 로 바꿉니다.

$8 \frac{(5 x + 2) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [6 x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

단계 3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 \frac{(5 x + 2) (e^{u} \frac{d}{d x} [6 x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $6 x$ 로 바꿉니다.

$8 \frac{(5 x + 2) (e^{6 x} \frac{d}{d x} [6 x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$8 \frac{(5 x + 2) e^{6 x} (6 \frac{d}{d x} [x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

단계 4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 \frac{(5 x + 2) e^{6 x} (6 \cdot 1) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

단계 4.3

식을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$8 \frac{(5 x + 2) e^{6 x} \cdot 6 - e^{6 x} \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

단계 4.3.2

$(5 x + 2) e^{6 x}$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$8 \frac{6 \cdot ((5 x + 2) e^{6 x}) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

단계 4.4

합의 법칙에 의해 $5 x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$8 \frac{6 (5 x + 2) e^{6 x} - e^{6 x} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

단계 4.5

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$8 \frac{6 (5 x + 2) e^{6 x} - e^{6 x} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

단계 4.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 \frac{6 (5 x + 2) e^{6 x} - e^{6 x} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

단계 4.7

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$8 \frac{6 (5 x + 2) e^{6 x} - e^{6 x} (5 + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

단계 4.8

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$8 \frac{6 (5 x + 2) e^{6 x} - e^{6 x} (5 + 0)}{{(5 x + 2)}^{2}}$

단계 4.9

분수를 통분합니다.

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단계 4.9.1

$5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$8 \frac{6 (5 x + 2) e^{6 x} - e^{6 x} \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

단계 4.9.2

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$8 \frac{6 (5 x + 2) e^{6 x} - 5 e^{6 x}}{{(5 x + 2)}^{2}}$

단계 4.9.3

$8$ 와 $\frac{6 (5 x + 2) e^{6 x} - 5 e^{6 x}}{{(5 x + 2)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{8 (6 (5 x + 2) e^{6 x} - 5 e^{6 x})}{{(5 x + 2)}^{2}}$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{8 ((6 (5 x) + 6 \cdot 2) e^{6 x} - 5 e^{6 x})}{{(5 x + 2)}^{2}}$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{8 (6 (5 x) e^{6 x} + 6 \cdot 2 e^{6 x} - 5 e^{6 x})}{{(5 x + 2)}^{2}}$

단계 5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{8 (6 (5 x) e^{6 x}) + 8 (6 \cdot 2 e^{6 x}) + 8 (- 5 e^{6 x})}{{(5 x + 2)}^{2}}$

단계 5.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.4.1.1

$5$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{8 (30 x e^{6 x}) + 8 (6 \cdot 2 e^{6 x}) + 8 (- 5 e^{6 x})}{{(5 x + 2)}^{2}}$

단계 5.4.1.2

$30$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{240 (x e^{6 x}) + 8 (6 \cdot 2 e^{6 x}) + 8 (- 5 e^{6 x})}{{(5 x + 2)}^{2}}$

단계 5.4.1.3

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{240 x e^{6 x} + 8 (12 e^{6 x}) + 8 (- 5 e^{6 x})}{{(5 x + 2)}^{2}}$

단계 5.4.1.4

$12$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{240 x e^{6 x} + 96 e^{6 x} + 8 (- 5 e^{6 x})}{{(5 x + 2)}^{2}}$

단계 5.4.1.5

$- 5$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{240 x e^{6 x} + 96 e^{6 x} - 40 e^{6 x}}{{(5 x + 2)}^{2}}$

단계 5.4.2

$96 e^{6 x}$ 에서 $40 e^{6 x}$ 을 뺍니다.

$\frac{240 x e^{6 x} + 56 e^{6 x}}{{(5 x + 2)}^{2}}$

단계 5.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{240 e^{6 x} x + 56 e^{6 x}}{{(5 x + 2)}^{2}}$

단계 5.6

$240 e^{6 x} x + 56 e^{6 x}$ 에서 $8 e^{6 x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.6.1

$240 e^{6 x} x$ 에서 $8 e^{6 x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 e^{6 x} (30 x) + 56 e^{6 x}}{{(5 x + 2)}^{2}}$

단계 5.6.2

$56 e^{6 x}$ 에서 $8 e^{6 x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 e^{6 x} (30 x) + 8 e^{6 x} (7)}{{(5 x + 2)}^{2}}$

단계 5.6.3

$8 e^{6 x} (30 x) + 8 e^{6 x} (7)$ 에서 $8 e^{6 x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 e^{6 x} (30 x + 7)}{{(5 x + 2)}^{2}}$