미적분 예제

$\frac{7 x^{2} + 5 x^{9}}{4 x^{7}}$

단계 1

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{7 x^{2} + 5 x^{9}}{4 x^{7}}$ 의 미분은 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{7 x^{2} + 5 x^{9}}{x^{7}}]$ 입니다.

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{7 x^{2} + 5 x^{9}}{x^{7}}]$

단계 2

$7 x^{2} + 5 x^{9}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1

$7 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} \cdot 7 + 5 x^{9}}{x^{7}}]$

단계 2.2

$5 x^{9}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} \cdot 7 + x^{2} (5 x^{7})}{x^{7}}]$

단계 2.3

$x^{2} \cdot 7 + x^{2} (5 x^{7})$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (7 + 5 x^{7})}{x^{7}}]$

단계 3

공약수로 약분합니다.

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단계 3.1

$x^{7}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (7 + 5 x^{7})}{x^{2} x^{5}}]$

단계 3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (7 + 5 x^{7})}{x^{2} x^{5}}]$

단계 3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{7 + 5 x^{7}}{x^{5}}]$

단계 4

$f (x) = 7 + 5 x^{7}$ , $g (x) = x^{5}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [7 + 5 x^{7}] - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

${(x^{5})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 5.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [7 + 5 x^{7}] - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

단계 5.1.2

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [7 + 5 x^{7}] - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

단계 5.2

합의 법칙에 의해 $7 + 5 x^{7}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [5 x^{7}]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{5} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [5 x^{7}]) - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

단계 5.3

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{5} (0 + \frac{d}{d x} [5 x^{7}]) - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

단계 5.4

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [5 x^{7}]$ 에 더합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [5 x^{7}] - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

단계 5.5

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{7}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ 입니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{5} (5 \frac{d}{d x} [x^{7}]) - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

단계 5.6

$n = 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{5} (5 (7 x^{6})) - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

단계 5.7

$7$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{5} (35 x^{6}) - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

단계 6

지수를 더하여 $x^{5}$ 에 $x^{6}$ 을 곱합니다.

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단계 6.1

$x^{6}$ 를 옮깁니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{6} x^{5} \cdot 35 - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

단계 6.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{6 + 5} \cdot 35 - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

단계 6.3

$6$ 를 $5$ 에 더합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{11} \cdot 35 - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

단계 7

$x^{11}$ 의 왼쪽으로 $35$ 이동하기

$\frac{1}{4} \cdot \frac{35 \cdot x^{11} - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

단계 8

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{35 x^{11} - (7 + 5 x^{7}) (5 x^{4})}{x^{10}}$

단계 9

분수를 통분합니다.

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단계 9.1

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{35 x^{11} - 5 (7 + 5 x^{7}) x^{4}}{x^{10}}$

단계 9.2

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{35 x^{11} - 5 (7 + 5 x^{7}) x^{4}}{x^{10}}$ 을 곱합니다.

$\frac{35 x^{11} - 5 (7 + 5 x^{7}) x^{4}}{4 x^{10}}$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{35 x^{11} + (- 5 \cdot 7 - 5 (5 x^{7})) x^{4}}{4 x^{10}}$

단계 10.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{35 x^{11} - 5 \cdot 7 x^{4} - 5 (5 x^{7}) x^{4}}{4 x^{10}}$

단계 10.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 10.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 10.3.1.1

$- 5$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{35 x^{11} - 35 x^{4} - 5 (5 x^{7}) x^{4}}{4 x^{10}}$

단계 10.3.1.2

지수를 더하여 $x^{7}$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

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단계 10.3.1.2.1

$x^{4}$ 를 옮깁니다.

$\frac{35 x^{11} - 35 x^{4} - 5 (5 (x^{4} x^{7}))}{4 x^{10}}$

단계 10.3.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{35 x^{11} - 35 x^{4} - 5 (5 x^{4 + 7})}{4 x^{10}}$

단계 10.3.1.2.3

$4$ 를 $7$ 에 더합니다.

$\frac{35 x^{11} - 35 x^{4} - 5 (5 x^{11})}{4 x^{10}}$

단계 10.3.1.3

$5$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$\frac{35 x^{11} - 35 x^{4} - 25 x^{11}}{4 x^{10}}$

단계 10.3.2

$35 x^{11}$ 에서 $25 x^{11}$ 을 뺍니다.

$\frac{10 x^{11} - 35 x^{4}}{4 x^{10}}$

단계 10.4

$10 x^{11} - 35 x^{4}$ 에서 $5 x^{4}$ 를 인수분해합니다.

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단계 10.4.1

$10 x^{11}$ 에서 $5 x^{4}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 x^{4} (2 x^{7}) - 35 x^{4}}{4 x^{10}}$

단계 10.4.2

$- 35 x^{4}$ 에서 $5 x^{4}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 x^{4} (2 x^{7}) + 5 x^{4} (- 7)}{4 x^{10}}$

단계 10.4.3

$5 x^{4} (2 x^{7}) + 5 x^{4} (- 7)$ 에서 $5 x^{4}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 x^{4} (2 x^{7} - 7)}{4 x^{10}}$

단계 10.5

$x^{4}$ 및 $x^{10}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 10.5.1

$5 x^{4} (2 x^{7} - 7)$ 에서 $x^{4}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{4} (5 (2 x^{7} - 7))}{4 x^{10}}$

단계 10.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 10.5.2.1

$4 x^{10}$ 에서 $x^{4}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{4} (5 (2 x^{7} - 7))}{x^{4} (4 x^{6})}$

단계 10.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{4} (5 (2 x^{7} - 7))}{x^{4} (4 x^{6})}$

단계 10.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{5 (2 x^{7} - 7)}{4 x^{6}}$