미적분 예제

$5^{e^{3 x}}$

단계 1

$f (x) = 5^{x}$ , $g (x) = e^{3 x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $e^{3 x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [5^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

단계 1.2

$a$ = $5$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5^{u_{1}} \ln (5) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $e^{3 x}$ 로 바꿉니다.

$5^{e^{3 x}} \ln (5) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

단계 2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$5^{e^{3 x}} \ln (5) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x])$

단계 2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5^{e^{3 x}} \ln (5) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])$

단계 2.3

$u_{2}$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$5^{e^{3 x}} \ln (5) (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$5^{e^{3 x}} \ln (5) (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5^{e^{3 x}} \ln (5) (e^{3 x} (3 \cdot 1))$

단계 3.3

식을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5^{e^{3 x}} \ln (5) (e^{3 x} \cdot 3)$

단계 3.3.2

$e^{3 x}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$5^{e^{3 x}} \ln (5) (3 \cdot e^{3 x})$

단계 3.3.3

$5^{e^{3 x}} \ln (5) (3 e^{3 x})$ 인수를 다시 정렬합니다.

$3 \cdot 5^{e^{3 x}} e^{3 x} \ln (5)$