미적분 예제

$e^{4 x \ln (x^{3})}$

단계 1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 4 x \ln (x^{3})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $4 x \ln (x^{3})$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x \ln (x^{3})]$

단계 1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x \ln (x^{3})]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $4 x \ln (x^{3})$ 로 바꿉니다.

$e^{4 x \ln (x^{3})} \frac{d}{d x} [4 x \ln (x^{3})]$

단계 2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x \ln (x^{3})$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x \ln (x^{3})]$ 입니다.

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 \frac{d}{d x} [x \ln (x^{3})])$

단계 3

$f (x) = x$ , $g (x) = \ln (x^{3})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (x \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

단계 4

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

단계 4.2

$\ln (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{2}}$ 입니다.

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

단계 4.3

$u_{2}$ 를 모두 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (x (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

단계 5

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1

$\frac{1}{x^{3}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{x}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

단계 5.2

$x$ 및 $x^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{x^{1}}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

단계 5.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{x \cdot 1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

단계 5.2.3

공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.3.1

$x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

단계 5.2.3.2

공약수로 약분합니다.

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

단계 5.2.3.3

수식을 다시 씁니다.

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

단계 5.3

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{1}{x^{2}} (3 x^{2}) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

단계 5.4

항을 간단히 합니다.

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단계 5.4.1

$3$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{3}{x^{2}} x^{2} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

단계 5.4.2

$\frac{3}{x^{2}}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

단계 5.4.3

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.4.3.1

공약수로 약분합니다.

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

단계 5.4.3.2

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (3 + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

단계 5.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (3 + \ln (x^{3}) \cdot 1))$

단계 5.6

$\ln (x^{3})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (3 + \ln (x^{3})))$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 \cdot 3 + 4 \ln (x^{3}))$

단계 6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 \cdot 3) + e^{4 x \ln (x^{3})} (4 \ln (x^{3}))$

단계 6.3

항을 묶습니다.

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단계 6.3.1

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$e^{4 x \ln (x^{3})} \cdot 12 + e^{4 x \ln (x^{3})} (4 \ln (x^{3}))$

단계 6.3.2

$e^{4 x \ln (x^{3})}$ 의 왼쪽으로 $12$ 이동하기

$12 e^{4 x \ln (x^{3})} + e^{4 x \ln (x^{3})} (4 \ln (x^{3}))$

단계 6.4

항을 다시 정렬합니다.

$4 e^{4 x \ln (x^{3})} \ln (x^{3}) + 12 e^{4 x \ln (x^{3})}$