미적분 예제

$e^{2 x} \sin (2 x) \cos (x)$

단계 1

$f (x) = e^{2 x} \sin (2 x)$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{2 x} \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x} \sin (2 x)]$

단계 2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x} \sin (2 x)]$

단계 3

$f (x) = e^{2 x}$ , $g (x) = \sin (2 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

단계 4

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

단계 4.2

$\sin (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{1})$ 입니다.

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

단계 4.3

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

단계 5.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

단계 5.3

식을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (\cos (2 x) \cdot 2) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

단계 5.3.2

$\cos (2 x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (2 \cdot \cos (2 x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

단계 6

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x]))$

단계 6.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x]))$

단계 6.3

$u_{2}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]))$

단계 7

미분합니다.

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단계 7.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])))$

단계 7.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

단계 7.3

식을 간단히 합니다.

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단계 7.3.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (e^{2 x} \cdot 2))$

단계 7.3.2

$e^{2 x}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (2 \cdot e^{2 x}))$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{2 x} (2 \cos (2 x))) + \cos (x) (\sin (2 x) (2 e^{2 x}))$

단계 8.2

$\cos (x) e^{2 x}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$e^{2 x} \sin (2 x) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) e^{2 x} \cos (2 x) + \cos (x) \sin (2 x) (2 e^{2 x})$

단계 8.3

항을 다시 정렬합니다.

$- e^{2 x} \sin (x) \sin (2 x) + 2 e^{2 x} \cos (x) \cos (2 x) + 2 e^{2 x} \cos (x) \sin (2 x)$