미적분 예제

$\frac{d}{d x} \cdot (\sin^{2} (x) \log_{7} (\sin^{3} (x)))$

단계 1

$f (x) = \sin^{2} (x)$ , $g (x) = \log_{7} (\sin^{3} (x))$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\log_{7} (\sin^{3} (x))] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

단계 2

$f (x) = \log_{7} (x)$ , $g (x) = \sin^{3} (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\sin^{3} (x)$ 로 바꿉니다.

$\sin^{2} (x) (\frac{d}{d u_{1}} [\log_{7} (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]) + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

단계 2.2

$\log_{7} (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1} \ln (7)}$ 입니다.

$\sin^{2} (x) (\frac{1}{u_{1} \ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]) + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $\sin^{3} (x)$ 로 바꿉니다.

$\sin^{2} (x) (\frac{1}{\sin^{3} (x) \ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]) + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

단계 3

항을 간단히 합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{\sin^{3} (x) \ln (7)}$ 와 $\sin^{2} (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{3} (x) \ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

단계 3.2

$\sin^{2} (x)$ 및 $\sin^{3} (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin^{2} (x) \cdot 1}{\sin^{3} (x) \ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

단계 3.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.2.1

$\sin^{3} (x) \ln (7)$ 에서 $\sin^{2} (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sin^{2} (x) \cdot 1}{\sin^{2} (x) (\sin (x) \ln (7))} \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

단계 3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sin^{2} (x) \cdot 1}{\sin^{2} (x) (\sin (x) \ln (7))} \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

단계 3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{\sin (x) \ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

단계 4

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\sin (x) \ln (7)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

단계 4.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{\sin (x) \ln (7)} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

단계 4.3

$u_{2}$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\sin (x) \ln (7)} (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

단계 5

항을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$3$ 와 $\frac{1}{\sin (x) \ln (7)}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{\sin (x) \ln (7)} (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

단계 5.2

$\sin^{2} (x)$ 와 $\frac{3}{\sin (x) \ln (7)}$ 을 묶습니다.

$\frac{\sin^{2} (x) \cdot 3}{\sin (x) \ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

단계 5.3

$\sin^{2} (x)$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{3 \cdot \sin^{2} (x)}{\sin (x) \ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

단계 5.4

$\sin^{2} (x)$ 및 $\sin (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.4.1

$3 \sin^{2} (x)$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sin (x) (3 \sin (x))}{\sin (x) \ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

단계 5.4.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.4.2.1

$\sin (x) \ln (7)$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sin (x) (3 \sin (x))}{\sin (x) (\ln (7))} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

단계 5.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sin (x) (3 \sin (x))}{\sin (x) \ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

단계 5.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 \sin (x)}{\ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

단계 6

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\frac{3 \sin (x)}{\ln (7)} \cos (x) + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

단계 7

$\frac{3 \sin (x)}{\ln (7)}$ 와 $\cos (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)} + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

단계 8

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 8.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)} + \log_{7} (\sin^{3} (x)) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 8.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ 는 $n {u_{3}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)} + \log_{7} (\sin^{3} (x)) (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 8.3

$u_{3}$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)} + \log_{7} (\sin^{3} (x)) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 9

$\log_{7} (\sin^{3} (x))$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)} + 2 \cdot \log_{7} (\sin^{3} (x)) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 10

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)} + 2 \log_{7} (\sin^{3} (x)) \sin (x) \cos (x)$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

항을 다시 정렬합니다.

$2 \cos (x) \sin (x) \log_{7} (\sin^{3} (x)) + \frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)}$

단계 11.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 11.2.1

$2 \cos (x)$ 와 $\sin (x)$ 을 다시 정렬합니다.

$\sin (x) (2 \cos (x)) \log_{7} (\sin^{3} (x)) + \frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)}$

단계 11.2.2

$\sin (x)$ 와 $2$ 을 다시 정렬합니다.

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) \log_{7} (\sin^{3} (x)) + \frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)}$

단계 11.2.3

사인 배각 공식을 적용합니다.

$\sin (2 x) \log_{7} (\sin^{3} (x)) + \frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)}$