미적분 예제

${\cos (x)}^{\frac{1}{x^{2}}}$

단계 1

로그 성질을 사용하여 미분을 간단히 합니다.

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단계 1.1

${\cos (x)}^{\frac{1}{x^{2}}}$ 을 $e^{\ln ({\cos (x)}^{\frac{1}{x^{2}}})}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\cos (x)}^{\frac{1}{x^{2}}})}]$

단계 1.2

$\frac{1}{x^{2}}$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({\cos (x)}^{\frac{1}{x^{2}}})$ 을 전개합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x^{2}} \ln (\cos (x))}]$

단계 2

$\frac{1}{x^{2}}$ 와 $\ln (\cos (x))$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}]$

단계 3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = \frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}]$

단계 3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}]$

단계 3.3

$u_{1}$ 를 모두 $\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}$ 로 바꿉니다.

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}]$

단계 4

$f (x) = \ln (\cos (x))$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))] - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

단계 5

${(x^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))] - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

단계 5.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))] - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 6

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 6.2

$\ln (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{2}}$ 입니다.

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 6.3

$u_{2}$ 를 모두 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 7

$\frac{1}{\cos (x)}$ 을 $\sec (x)$ 로 변환합니다.

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 8

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\sec (x) (- \sin (x))) - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 9

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 9.1

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\sec (x) (- \sin (x))) - \ln (\cos (x)) (2 x)}{x^{4}}$

단계 9.2

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 9.2.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x)) x}{x^{4}}$

단계 9.2.2

$x^{2} (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x)) x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 9.2.2.1

$x^{2} (\sec (x) (- \sin (x)))$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x (x (\sec (x) (- \sin (x)))) - 2 \ln (\cos (x)) x}{x^{4}}$

단계 9.2.2.2

$- 2 \ln (\cos (x)) x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x (x (\sec (x) (- \sin (x)))) + x (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{4}}$

단계 9.2.2.3

$x (x (\sec (x) (- \sin (x)))) + x (- 2 \ln (\cos (x)))$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x (x (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x)))}{x^{4}}$

단계 10

공약수로 약분합니다.

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단계 10.1

$x^{4}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x (x (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x)))}{x \cdot x^{3}}$

단계 10.2

공약수로 약분합니다.

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x (x (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x)))}{x \cdot x^{3}}$

단계 10.3

수식을 다시 씁니다.

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x))}{x^{3}}$

단계 11

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ 와 $\frac{x (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x))}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (x (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

단계 12

간단히 합니다.

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단계 12.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (x (\sec (x) (- \sin (x)))) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

단계 12.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 12.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 12.2.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \sec (x) \sin (x) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

단계 12.2.1.2

$\sec (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \frac{1}{\cos (x)} \sin (x) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

단계 12.2.1.3

$- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \frac{1}{\cos (x)}$ 을 곱합니다.

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단계 12.2.1.3.1

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ 와 $\frac{1}{\cos (x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{- x \frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{\cos (x)} \sin (x) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

단계 12.2.1.3.2

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{\cos (x)}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{- \frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{\cos (x)} \sin (x) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

단계 12.2.1.4

$\sin (x)$ 와 $\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{\cos (x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{- \frac{\sin (x) (e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x)}{\cos (x)} + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

단계 12.2.1.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{- \frac{\sin (x) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{\cos (x)} - 2 e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos (x))}{x^{3}}$

단계 12.2.1.6

$- 2 e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos (x))$ 을 곱합니다.

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단계 12.2.1.6.1

$\ln (\cos (x))$ 와 $- 2$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{- \frac{\sin (x) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{\cos (x)} - 2 \cdot \ln (\cos (x)) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{x^{3}}$

단계 12.2.1.6.2

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 2 \cdot \ln (\cos (x))$ 을 간단히 합니다.

$\frac{- \frac{\sin (x) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{\cos (x)} - \ln (\cos^{2} (x)) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{x^{3}}$

단계 12.2.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 12.2.2.1

분수를 나눕니다.

$\frac{- (\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - \ln (\cos^{2} (x)) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{x^{3}}$

단계 12.2.2.2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 $\tan (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{- (\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{1} \tan (x)) - \ln (\cos^{2} (x)) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{x^{3}}$

단계 12.2.2.3

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \tan (x) - \ln (\cos^{2} (x)) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{x^{3}}$

단계 12.2.3

$- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \tan (x) - \ln (\cos^{2} (x)) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{- x e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \tan (x) - e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos^{2} (x))}{x^{3}}$

단계 12.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \tan (x) - e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos^{2} (x))}{x^{3}}$

단계 12.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 12.4.1

$- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \tan (x) - e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos^{2} (x))$ 에서 $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ 를 인수분해합니다.

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단계 12.4.1.1

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{- x e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \tan (x) - e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos^{2} (x))}{x^{3}}$

단계 12.4.1.2

$- x e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \tan (x)$ 에서 $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- x \tan (x)) - e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos^{2} (x))}{x^{3}}$

단계 12.4.1.3

$- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos^{2} (x))$ 에서 $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- x \tan (x)) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

단계 12.4.1.4

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- x \tan (x)) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- \ln (\cos^{2} (x)))$ 에서 $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- x \tan (x) - \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

단계 12.4.2

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- x \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

단계 12.4.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- \frac{\sin (x) x}{\cos (x)} - \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

단계 12.4.4

$- \frac{\sin (x) x}{\cos (x)} - \ln (\cos^{2} (x))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

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단계 12.4.4.1

$\sin (x)$ 와 $x$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- \frac{x \sin (x)}{\cos (x)} - \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

단계 12.4.4.2

$- \frac{x \sin (x)}{\cos (x)}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)}) - \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

단계 12.4.4.3

$- \ln (\cos^{2} (x))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)}) - (\ln (\cos^{2} (x))))}{x^{3}}$

단계 12.4.4.4

$- (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)}) - (\ln (\cos^{2} (x)))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)} + \ln (\cos^{2} (x))))}{x^{3}}$

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \cdot - 1 (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)} + \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

단계 12.4.5

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$\frac{- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)} + \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

단계 12.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)} + \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

단계 12.6

각 항을 간단히 합니다.

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단계 12.6.1

분수를 나눕니다.

$- \frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (\frac{x}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

단계 12.6.2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 $\tan (x)$ 로 변환합니다.

$- \frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (\frac{x}{1} \tan (x) + \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

단계 12.6.3

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (x \tan (x) + \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$