미적분 예제

$\frac{\sin (2 x)}{1 + \cos^{2} (x)}$

단계 1

$f (x) = \sin (2 x)$ , $g (x) = 1 + \cos^{2} (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos^{2} (x)]}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

단계 2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos^{2} (x)]}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

단계 2.2

$\sin (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{1})$ 입니다.

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos^{2} (x)]}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos^{2} (x)]}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos^{2} (x)]}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) (2 \cdot 1) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos^{2} (x)]}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

단계 3.3

식을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) \cdot 2 - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos^{2} (x)]}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

단계 3.3.2

$(1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot ((1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x)) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos^{2} (x)]}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

단계 3.4

합의 법칙에 의해 $1 + \cos^{2} (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{2 (1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

단계 3.5

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{2 (1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

단계 3.6

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ 에 더합니다.

$\frac{2 (1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

단계 4

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{2 (1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

단계 4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 (1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

단계 4.3

$u_{2}$ 를 모두 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{2 (1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

단계 5

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) - 2 \sin (2 x) (\cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

단계 6

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$\frac{2 (1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) - 2 \sin (2 x) \cos (x) (- \sin (x))}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

단계 7

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) + 2 \sin (2 x) \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 \cos^{2} (x)) \cos (2 x) + 2 \sin (2 x) \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

단계 8.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 \cdot 1 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + 2 \sin (2 x) \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

단계 8.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 8.3.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + 2 \sin (2 x) \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

단계 8.3.2

괄호를 표시합니다.

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + 2 \sin (2 x) (\cos (x) \sin (x))}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

단계 8.3.3

$2 \sin (2 x)$ 와 $\cos (x) \sin (x)$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + \cos (x) \sin (x) (2 \sin (2 x))}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

단계 8.3.4

괄호를 표시합니다.

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + \cos (x) (\sin (x) \cdot 2) \sin (2 x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

단계 8.3.5

$\cos (x)$ 와 $\sin (x) \cdot 2$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + \sin (x) \cdot 2 \cos (x) \sin (2 x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

단계 8.3.6

$\sin (x)$ 와 $2$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) \sin (2 x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

단계 8.3.7

사인 배각 공식을 적용합니다.

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \sin (2 x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

단계 8.3.8

$\sin (2 x) \sin (2 x)$ 을 곱합니다.

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단계 8.3.8.1

$\sin (2 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + \sin^{1} (2 x) \sin (2 x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

단계 8.3.8.2

$\sin (2 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + \sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

단계 8.3.8.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + {\sin (2 x)}^{1 + 1}}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

단계 8.3.8.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + \sin^{2} (2 x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

단계 8.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + 2 \cos (2 x) + \sin^{2} (2 x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$