미적분 예제

$\frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

단계 1

$f (x) = \sin (3 x)$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

단계 2

${(x^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

단계 2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 3

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 3.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$\frac{x^{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x]) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{x^{2} (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{x^{2} (\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2} (\cos (3 x) (3 \cdot 1)) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 4.3

식을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} (\cos (3 x) \cdot 3) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 4.3.2

$\cos (3 x)$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{x^{2} (3 \cdot \cos (3 x)) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 4.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2} (3 \cos (3 x)) - \sin (3 x) (2 x)}{x^{4}}$

단계 4.5

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 4.5.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} (3 \cos (3 x)) - 2 \sin (3 x) x}{x^{4}}$

단계 4.5.2

$x^{2} (3 \cos (3 x)) - 2 \sin (3 x) x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.5.2.1

$x^{2} (3 \cos (3 x))$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (x (3 \cos (3 x))) - 2 \sin (3 x) x}{x^{4}}$

단계 4.5.2.2

$- 2 \sin (3 x) x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (x (3 \cos (3 x))) + x (- 2 \sin (3 x))}{x^{4}}$

단계 4.5.2.3

$x (x (3 \cos (3 x))) + x (- 2 \sin (3 x))$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (x (3 \cos (3 x)) - 2 \sin (3 x))}{x^{4}}$

단계 5

공약수로 약분합니다.

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단계 5.1

$x^{4}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (x (3 \cos (3 x)) - 2 \sin (3 x))}{x \cdot x^{3}}$

단계 5.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x (x (3 \cos (3 x)) - 2 \sin (3 x))}{x \cdot x^{3}}$

단계 5.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x (3 \cos (3 x)) - 2 \sin (3 x)}{x^{3}}$

단계 6

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{3 x \cos (3 x) - 2 \sin (3 x)}{x^{3}}$