미적분 예제

${\tan (x)}^{\frac{1}{x}}$

단계 1

로그 성질을 사용하여 미분을 간단히 합니다.

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단계 1.1

${\tan (x)}^{\frac{1}{x}}$ 을 $e^{\ln ({\tan (x)}^{\frac{1}{x}})}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\tan (x)}^{\frac{1}{x}})}]$

단계 1.2

$\frac{1}{x}$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({\tan (x)}^{\frac{1}{x}})$ 을 전개합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x} \ln (\tan (x))}]$

단계 2

$\frac{1}{x}$ 와 $\ln (\tan (x))$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}}]$

단계 3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = \frac{\ln (\tan (x))}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\frac{\ln (\tan (x))}{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\frac{\ln (\tan (x))}{x}]$

단계 3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (\tan (x))}{x}]$

단계 3.3

$u_{1}$ 를 모두 $\frac{\ln (\tan (x))}{x}$ 로 바꿉니다.

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (\tan (x))}{x}]$

단계 4

$f (x) = \ln (\tan (x))$ , $g (x) = x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (\tan (x))] - \ln (\tan (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 5

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \tan (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\tan (x)$ 로 바꿉니다.

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - \ln (\tan (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 5.2

$\ln (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{2}}$ 입니다.

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - \ln (\tan (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 5.3

$u_{2}$ 를 모두 $\tan (x)$ 로 바꿉니다.

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x (\frac{1}{\tan (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - \ln (\tan (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 6

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x (\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - \ln (\tan (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 7

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - \ln (\tan (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 8

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 을 $\cot (x)$ 로 변환합니다.

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x (\cot (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - \ln (\tan (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 9

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x (\cot (x) \sec^{2} (x)) - \ln (\tan (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 10

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 10.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x (\cot (x) \sec^{2} (x)) - \ln (\tan (x)) \cdot 1}{x^{2}}$

단계 10.2

분수를 통분합니다.

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단계 10.2.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x (\cot (x) \sec^{2} (x)) - \ln (\tan (x))}{x^{2}}$

단계 10.2.2

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}}$ 와 $\frac{x (\cot (x) \sec^{2} (x)) - \ln (\tan (x))}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\cot (x) \sec^{2} (x)) - \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\cot (x) \sec^{2} (x))) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

단계 11.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 11.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 11.2.1.1

$\cot (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sec^{2} (x))) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

단계 11.2.1.2

$\sec (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2})) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

단계 11.2.1.3

$\frac{1}{\cos (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)})) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

단계 11.2.1.4

$\cos (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 11.2.1.4.1

$\cos^{2} (x)$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)})) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

단계 11.2.1.4.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)})) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

단계 11.2.1.4.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1^{2}}{\cos (x)})) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

단계 11.2.1.5

$\frac{1}{\sin (x)}$ 에 $\frac{1^{2}}{\cos (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x \frac{1^{2}}{\sin (x) \cos (x)}) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

단계 11.2.1.6

분수를 나눕니다.

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{1^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)})) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

단계 11.2.1.7

$\frac{1}{\sin (x)}$ 을 $\csc (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{1^{2}}{\cos (x)} \csc (x))) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

단계 11.2.1.8

분수를 나눕니다.

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{1^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \csc (x))) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

단계 11.2.1.9

$\frac{1}{\cos (x)}$ 을 $\sec (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{1^{2}}{1} \sec (x) \csc (x))) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

단계 11.2.1.10

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{\frac{1^{2}}{1} e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} x \sec (x) \csc (x) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

단계 11.2.1.11

$1^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1^{2} e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} x \sec (x) \csc (x) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

단계 11.2.1.12

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1 e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} x \sec (x) \csc (x) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

단계 11.2.1.13

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} x \sec (x) \csc (x) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

단계 11.2.1.14

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} x \sec (x) \csc (x) - e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \ln (\tan (x))}{x^{2}}$

단계 11.2.2

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} x \sec (x) \csc (x) - e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \ln (\tan (x))$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{x e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \sec (x) \csc (x) - e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \ln (\tan (x))}{x^{2}}$

단계 11.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} x \csc (x) \sec (x) - e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \ln (\tan (x))}{x^{2}}$

단계 11.4

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} x \csc (x) \sec (x) - e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \ln (\tan (x))$ 에서 $e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}}$ 를 인수분해합니다.

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단계 11.4.1

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}}$ 와 $x$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{x e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \csc (x) \sec (x) - e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \ln (\tan (x))}{x^{2}}$

단계 11.4.2

$x e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \csc (x) \sec (x)$ 에서 $e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x \csc (x) \sec (x)) - e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \ln (\tan (x))}{x^{2}}$

단계 11.4.3

$- e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \ln (\tan (x))$ 에서 $e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x \csc (x) \sec (x)) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

단계 11.4.4

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x \csc (x) \sec (x)) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))$ 에서 $e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x \csc (x) \sec (x) - \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$