미적분 예제

$\sin^{4} (3 x) - \cos^{4} (3 x)$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\sin^{4} (3 x) - \cos^{4} (3 x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\sin^{4} (3 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\sin^{4} (3 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [\sin^{4} (3 x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = \sin (3 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\sin (3 x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

단계 2.1.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

단계 2.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\sin (3 x)$ 로 바꿉니다.

$4 \sin^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

단계 2.2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$4 \sin^{3} (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

단계 2.2.2

$\sin (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{2})$ 입니다.

$4 \sin^{3} (3 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

단계 2.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$4 \sin^{3} (3 x) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

단계 2.3

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 \sin^{3} (3 x) (\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

단계 2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \sin^{3} (3 x) (\cos (3 x) (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

단계 2.5

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 \sin^{3} (3 x) (\cos (3 x) \cdot 3) + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

단계 2.6

$\cos (3 x)$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$4 \sin^{3} (3 x) (3 \cdot \cos (3 x)) + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

단계 2.7

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \cos^{4} (3 x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\cos^{4} (3 x)]$ 입니다.

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - \frac{d}{d x} [\cos^{4} (3 x)]$

단계 3.2

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = \cos (3 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $\cos (3 x)$ 로 바꿉니다.

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{4}] \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

단계 3.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ 는 $n {u_{3}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

단계 3.2.3

$u_{3}$ 를 모두 $\cos (3 x)$ 로 바꿉니다.

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (4 \cos^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

단계 3.3

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{4}$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (4 \cos^{3} (3 x) (\frac{d}{d u_{4}} [\cos (u_{4})] \frac{d}{d x} [3 x]))$

단계 3.3.2

$\cos (u_{4})$ 를 $u_{4}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{4})$ 입니다.

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (4 \cos^{3} (3 x) (- \sin (u_{4}) \frac{d}{d x} [3 x]))$

단계 3.3.3

$u_{4}$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (4 \cos^{3} (3 x) (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]))$

단계 3.4

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (4 \cos^{3} (3 x) (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])))$

단계 3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (4 \cos^{3} (3 x) (- \sin (3 x) (3 \cdot 1)))$

단계 3.6

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (4 \cos^{3} (3 x) (- \sin (3 x) \cdot 3))$

단계 3.7

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (4 \cos^{3} (3 x) (- 3 \sin (3 x)))$

단계 3.8

$- 3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (- 12 \cos^{3} (3 x) \sin (3 x))$

단계 3.9

$- 12$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) + 12 \cos^{3} (3 x) \sin (3 x)$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) + 12 \cos^{3} (3 x) \sin (3 x)$ 에서 $12 \sin (3 x) \cos (3 x)$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.1.1

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x)$ 에서 $12 \sin (3 x) \cos (3 x)$ 를 인수분해합니다.

$12 \sin (3 x) \cos (3 x) (\sin^{2} (3 x)) + 12 \cos^{3} (3 x) \sin (3 x)$

단계 4.1.2

$12 \cos^{3} (3 x) \sin (3 x)$ 에서 $12 \sin (3 x) \cos (3 x)$ 를 인수분해합니다.

$12 \sin (3 x) \cos (3 x) (\sin^{2} (3 x)) + 12 \sin (3 x) \cos (3 x) (\cos^{2} (3 x))$

단계 4.1.3

$12 \sin (3 x) \cos (3 x) (\sin^{2} (3 x)) + 12 \sin (3 x) \cos (3 x) (\cos^{2} (3 x))$ 에서 $12 \sin (3 x) \cos (3 x)$ 를 인수분해합니다.

$12 \sin (3 x) \cos (3 x) (\sin^{2} (3 x) + \cos^{2} (3 x))$

단계 4.2

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$12 \sin (3 x) \cos (3 x) \cdot 1$

단계 4.3

$12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$12 \sin (3 x) \cos (3 x)$