미적분 예제

$\sqrt{e^{2 x} + 2 x}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{e^{2 x} + 2 x}$ 을(를) ${(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = e^{2 x} + 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $e^{2 x} + 2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

단계 2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $e^{2 x} + 2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

단계 4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

단계 6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

단계 7

합의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} {(e^{2 x} + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

단계 7.2

분수를 통분합니다.

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단계 7.2.1

$\frac{1}{2}$ 와 ${(e^{2 x} + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(e^{2 x} + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

단계 7.2.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(e^{2 x} + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

단계 7.3

합의 법칙에 의해 $e^{2 x} + 2 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 8

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 8.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 8.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 8.3

$u_{2}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 9

미분합니다.

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단계 9.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 9.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 9.3

식을 간단히 합니다.

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단계 9.3.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 9.3.2

$e^{2 x}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot e^{2 x} + \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 9.4

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 e^{2 x} + 2 \frac{d}{d x} [x])$

단계 9.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 e^{2 x} + 2 \cdot 1)$

단계 9.6

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 e^{2 x} + 2)$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 e^{2 x} + 2)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(2 e^{2 x} + 2) \frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.2

$2 e^{2 x} + 2$ 에 $\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 e^{2 x} + 2}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.3

$2 e^{2 x}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (e^{2 x}) + 2}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.4

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (e^{2 x}) + 2 \cdot 1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.5

$2 (e^{2 x}) + 2 (1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (e^{2 x} + 1)}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.6

공약수로 약분합니다.

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단계 10.6.1

$2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (e^{2 x} + 1)}{2 ({(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}})}$

단계 10.6.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (e^{2 x} + 1)}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.6.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{e^{2 x} + 1}{{(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$