미적분 예제

$e^{x} (x^{2} - 2 x + 2)$

단계 1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x^{2} - 2 x + 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2] + (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 2 x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 2.3

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{x} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 2.5

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{x} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 2.6

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$e^{x} (2 x - 2 + 0) + (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 2.7

$2 x - 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{x} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 2) e^{x}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 2 + (x^{2} - 2 x + 2) e^{x}$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 2 + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}$

단계 4.3

항을 묶습니다.

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단계 4.3.1

$e^{x}$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$e^{x} (2 x) - 2 \cdot e^{x} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}$

단계 4.3.2

$e^{x} (2 x)$ 에서 $2 x e^{x}$ 을 뺍니다.

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단계 4.3.2.1

$e^{x}$ 를 옮깁니다.

$2 x e^{x} - 2 x e^{x} - 2 e^{x} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$

단계 4.3.2.2

$2 x e^{x}$ 에서 $2 x e^{x}$ 을 뺍니다.

$0 - 2 e^{x} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$

단계 4.3.3

$0$ 에서 $2 e^{x}$ 을 뺍니다.

$- 2 e^{x} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$

단계 4.3.4

$- 2 e^{x}$ 를 $2 e^{x}$ 에 더합니다.

$x^{2} e^{x} + 0$

단계 4.3.5

$x^{2} e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x^{2} e^{x}$

단계 4.4

$x^{2} e^{x}$ 인수를 다시 정렬합니다.

$e^{x} x^{2}$

단계 4.5

$e^{x} x^{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$x^{2} e^{x}$