미적분 예제

$e^{x \sqrt{7 x - 15}}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{7 x - 15}$ 을(를) ${(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}]$

단계 2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 3

$f (x) = x$ , $g (x) = {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d x} [{(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}] + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = 7 x - 15$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $7 x - 15$ 로 바꿉니다.

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [7 x - 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x - 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.3

$u_{2}$ 를 모두 $7 x - 15$ 로 바꿉니다.

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x - 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 5

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x - 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 6

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x - 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x - 15)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x - 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 8

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x - 15)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x - 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 8.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x - 15)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x - 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 9

분수를 통분합니다.

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단계 9.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x - 15)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x - 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 9.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(7 x - 15)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{{(7 x - 15)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [7 x - 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 9.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(7 x - 15)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 x - 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 9.4

$\frac{1}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 x - 15] + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 10

합의 법칙에 의해 $7 x - 15$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$ 가 됩니다.

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 11

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 x$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 12

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 13

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 + \frac{d}{d x} [- 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 14

$- 15$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 15$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 15$ 입니다.

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 + 0) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 15

분수를 통분합니다.

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단계 15.1

$7$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 7 + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 15.2

$\frac{x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $7$ 을 묶습니다.

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x \cdot 7}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 15.3

$x$ 의 왼쪽으로 $7$ 이동하기

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{7 \cdot x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 16

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{7 x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

단계 17

${(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{7 x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}})$

단계 18

공통 분모를 가지는 분수로 ${(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{7 x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}})$

단계 19

${(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{7 x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} (2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}})$

단계 20

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} (2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 21

지수를 더하여 ${(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 21.1

${(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 21.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 21.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + {(7 x - 15)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 21.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + {(7 x - 15)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 21.5

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + {(7 x - 15)}^{1} \cdot 2}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 22

식을 간단히 합니다.

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단계 22.1

${(7 x - 15)}^{1} \cdot 2$ 을 간단히 합니다.

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + (7 x - 15) \cdot 2}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 22.2

$7 x - 15$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + 2 \cdot (7 x - 15)}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 23

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $\frac{7 x + 2 (7 x - 15)}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 x + 2 (7 x - 15))}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 24

간단히 합니다.

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단계 24.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 x + 2 (7 x) + 2 \cdot - 15)}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 24.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 24.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 24.2.1.1

$7$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 x + 14 x + 2 \cdot - 15)}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 24.2.1.2

$2$ 에 $- 15$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 x + 14 x - 30)}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 24.2.2

$7 x$ 를 $14 x$ 에 더합니다.

$\frac{e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (21 x - 30)}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 24.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (21 x) + e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 30}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 24.2.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{21 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} x + e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 30}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 24.2.5

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ 의 왼쪽으로 $- 30$ 이동하기

$\frac{21 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} x - 30 \cdot e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 24.2.6

$21 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} x - 30 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{21 x e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} - 30 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 24.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{21 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} x - 30 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 24.4

$21 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} x - 30 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ 에서 $3 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ 를 인수분해합니다.

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단계 24.4.1

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{21 x e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} - 30 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 24.4.2

$21 x e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ 에서 $3 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 x) - 30 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 24.4.3

$- 30 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ 에서 $3 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 x) + 3 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (- 10)}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 24.4.4

$3 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 x) + 3 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (- 10)$ 에서 $3 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 x - 10)}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$