미적분 예제

$e^{6 x} - \csc (x) \cot (x)$

단계 1

합의 법칙에 의해 $e^{6 x} - \csc (x) \cot (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{6 x}] + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [e^{6 x}] + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [e^{6 x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 6 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $6 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

단계 2.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u} \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

단계 2.1.3

$u$ 를 모두 $6 x$ 로 바꿉니다.

$e^{6 x} \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

단계 2.2

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{6 x} (6 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

단계 2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{6 x} (6 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

단계 2.4

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{6 x} \cdot 6 + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

단계 2.5

$e^{6 x}$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$6 e^{6 x} + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \csc (x) \cot (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\csc (x) \cot (x)]$ 입니다.

$6 e^{6 x} - \frac{d}{d x} [\csc (x) \cot (x)]$

단계 3.2

$f (x) = \csc (x)$ , $g (x) = \cot (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 e^{6 x} - (\csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

단계 3.3

$\cot (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \csc^{2} (x)$ 입니다.

$6 e^{6 x} - (\csc (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

단계 3.4

$\csc (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \csc (x) \cot (x)$ 입니다.

$6 e^{6 x} - (\csc (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

단계 3.5

$\csc (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$6 e^{6 x} - (- (\csc^{1} (x) \csc^{2} (x)) + \cot (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

단계 3.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$6 e^{6 x} - (- {\csc (x)}^{1 + 2} + \cot (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

단계 3.7

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$6 e^{6 x} - (- \csc^{3} (x) + \cot (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

단계 3.8

$\cot (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$6 e^{6 x} - (- \csc^{3} (x) - \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot (x)))$

단계 3.9

$\cot (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$6 e^{6 x} - (- \csc^{3} (x) - \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)))$

단계 3.10

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$6 e^{6 x} - (- \csc^{3} (x) - \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1})$

단계 3.11

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$6 e^{6 x} - (- \csc^{3} (x) - \csc (x) \cot^{2} (x))$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$6 e^{6 x} - - \csc^{3} (x) - (- \csc (x) \cot^{2} (x))$

단계 4.2

항을 묶습니다.

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단계 4.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$6 e^{6 x} + 1 \csc^{3} (x) - (- \csc (x) \cot^{2} (x))$

단계 4.2.2

$\csc^{3} (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 e^{6 x} + \csc^{3} (x) - (- \csc (x) \cot^{2} (x))$

단계 4.2.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$6 e^{6 x} + \csc^{3} (x) + 1 (\csc (x) \cot^{2} (x))$

단계 4.2.4

$\csc (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 e^{6 x} + \csc^{3} (x) + \csc (x) \cot^{2} (x)$

단계 4.3

항을 다시 정렬합니다.

$\cot^{2} (x) \csc (x) + 6 e^{6 x} + \csc^{3} (x)$