미적분 예제

$\ln ({(3 + e^{x})}^{2})$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = {(3 + e^{x})}^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 ${(3 + e^{x})}^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(3 + e^{x})}^{2}]$

단계 1.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(3 + e^{x})}^{2}]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 ${(3 + e^{x})}^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(3 + e^{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [{(3 + e^{x})}^{2}]$

단계 2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = 3 + e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $3 + e^{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(3 + e^{x})}^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [3 + e^{x}])$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{{(3 + e^{x})}^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [3 + e^{x}])$

단계 2.3

$u_{2}$ 를 모두 $3 + e^{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(3 + e^{x})}^{2}} (2 (3 + e^{x}) \frac{d}{d x} [3 + e^{x}])$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$2$ 와 $\frac{1}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{{(3 + e^{x})}^{2}} ((3 + e^{x}) \frac{d}{d x} [3 + e^{x}])$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $3 + e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{2}{{(3 + e^{x})}^{2}} ((3 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}]))$

단계 3.3

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$\frac{2}{{(3 + e^{x})}^{2}} ((3 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]))$

단계 3.4

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ 에 더합니다.

$\frac{2}{{(3 + e^{x})}^{2}} ((3 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

단계 4

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{{(3 + e^{x})}^{2}} ((3 + e^{x}) e^{x})$

단계 5

분수를 통분합니다.

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단계 5.1

$e^{x}$ 와 $\frac{2}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{x} \cdot 2}{{(3 + e^{x})}^{2}} (3 + e^{x})$

단계 5.2

$e^{x}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}} (3 + e^{x})$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$\frac{2 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}} (3 + e^{x})$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(3 + e^{x}) \frac{2 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

단계 6.2

$3 + e^{x}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.1

${(3 + e^{x})}^{2}$ 에서 $3 + e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$(3 + e^{x}) \frac{2 e^{x}}{(3 + e^{x}) (3 + e^{x})}$

단계 6.2.2

공약수로 약분합니다.

$(3 + e^{x}) \frac{2 e^{x}}{(3 + e^{x}) (3 + e^{x})}$

단계 6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 e^{x}}{3 + e^{x}}$