미적분 예제

$\frac{\ln (3 x)}{2 x^{2}}$

단계 1

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{\ln (3 x)}{2 x^{2}}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (3 x)}{x^{2}}]$ 입니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (3 x)}{x^{2}}]$

단계 2

$f (x) = \ln (3 x)$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

단계 3

${(x^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

단계 3.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 4

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 4.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]) - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 4.3

$u$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

$\frac{1}{3 x}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x^{2}}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 5.2

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x \cdot x}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 5.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.2.1

$3 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 3} \frac{d}{d x} [3 x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 5.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 3} \frac{d}{d x} [3 x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 5.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x}{3} \frac{d}{d x} [3 x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 5.3

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{x}{3} (3 \frac{d}{d x} [x]) - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 5.4

항을 간단히 합니다.

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단계 5.4.1

$3$ 와 $\frac{x}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{3 x}{3} \frac{d}{d x} [x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 5.4.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.4.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{3 x}{3} \frac{d}{d x} [x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 5.4.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x] - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 5.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \cdot 1 - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 5.6

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x - \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 5.7

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x - \ln (3 x) (2 x)}{x^{4}}$

단계 5.8

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 5.8.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x - 2 \ln (3 x) x}{x^{4}}$

단계 5.8.2

$x - 2 \ln (3 x) x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.8.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1} - 2 \ln (3 x) x}{x^{4}}$

단계 5.8.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \cdot 1 - 2 \ln (3 x) x}{x^{4}}$

단계 5.8.2.3

$- 2 \ln (3 x) x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \cdot 1 + x (- 2 \ln (3 x))}{x^{4}}$

단계 5.8.2.4

$x \cdot 1 + x (- 2 \ln (3 x))$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (1 - 2 \ln (3 x))}{x^{4}}$

단계 6

공약수로 약분합니다.

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단계 6.1

$x^{4}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (1 - 2 \ln (3 x))}{x \cdot x^{3}}$

단계 6.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (1 - 2 \ln (3 x))}{x \cdot x^{3}}$

단계 6.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 2 \ln (3 x)}{x^{3}}$

단계 7

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1 - 2 \ln (3 x)}{x^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - 2 \ln (3 x)}{2 x^{3}}$

단계 8

각 항을 간단히 합니다.

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단계 8.1

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 2 \ln (3 x)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{1 - \ln ({(3 x)}^{2})}{2 x^{3}}$

단계 8.2

$3 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1 - \ln (3^{2} x^{2})}{2 x^{3}}$

단계 8.3

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1 - \ln (9 x^{2})}{2 x^{3}}$