미적분 예제

$\ln ({(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}})$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 ${(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 ${(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = 8 x^{3} - 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $8 x^{3} - 3 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

단계 2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

단계 2.3

$u_{2}$ 를 모두 $8 x^{3} - 3 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

단계 4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

단계 6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

단계 7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

단계 8

$\frac{1}{2}$ 와 ${(8 x^{3} - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(8 x^{3} - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

단계 9

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(8 x^{3} - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

단계 10

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

단계 11

지수를 더하여 ${(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 11.1

${(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{1}{2 ({(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

단계 11.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

단계 11.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1 + 1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

단계 11.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

단계 11.5

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{1}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

단계 12

$2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{1}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

단계 13

합의 법칙에 의해 $8 x^{3} - 3 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

단계 14

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x^{3}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

단계 15

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

단계 16

$3$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

단계 17

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (24 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x])$

단계 18

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (24 x^{2} - 3 \cdot 1)$

단계 19

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (24 x^{2} - 3)$

단계 20

간단히 합니다.

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단계 20.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2 (8 x^{3}) + 2 (- 3 x)} (24 x^{2} - 3)$

단계 20.2

항을 묶습니다.

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단계 20.2.1

$8$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{16 x^{3} + 2 (- 3 x)} (24 x^{2} - 3)$

단계 20.2.2

$- 3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{16 x^{3} - 6 x} (24 x^{2} - 3)$

단계 20.3

$\frac{1}{16 x^{3} - 6 x} (24 x^{2} - 3)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(24 x^{2} - 3) \frac{1}{16 x^{3} - 6 x}$

단계 20.4

$16 x^{3} - 6 x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

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단계 20.4.1

$16 x^{3}$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$(24 x^{2} - 3) \frac{1}{2 x (8 x^{2}) - 6 x}$

단계 20.4.2

$- 6 x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$(24 x^{2} - 3) \frac{1}{2 x (8 x^{2}) + 2 x (- 3)}$

단계 20.4.3

$2 x (8 x^{2}) + 2 x (- 3)$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$(24 x^{2} - 3) \frac{1}{2 x (8 x^{2} - 3)}$

단계 20.5

$24 x^{2} - 3$ 에 $\frac{1}{2 x (8 x^{2} - 3)}$ 을 곱합니다.

$\frac{24 x^{2} - 3}{2 x (8 x^{2} - 3)}$

단계 20.6

$24 x^{2} - 3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

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단계 20.6.1

$24 x^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (8 x^{2}) - 3}{2 x (8 x^{2} - 3)}$

단계 20.6.2

$- 3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (8 x^{2}) + 3 (- 1)}{2 x (8 x^{2} - 3)}$

단계 20.6.3

$3 (8 x^{2}) + 3 (- 1)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (8 x^{2} - 1)}{2 x (8 x^{2} - 3)}$