미적분 예제

$\frac{\ln (7 x)}{x^{5}}$

단계 1

$f (x) = \ln (7 x)$ , $g (x) = x^{5}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (7 x)] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

단계 2

${(x^{5})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (7 x)] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

단계 2.2

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (7 x)] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

단계 3

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 7 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $7 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{x^{5} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [7 x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

단계 3.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{x^{5} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [7 x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $7 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{x^{5} (\frac{1}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$\frac{1}{7 x}$ 와 $x^{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{x^{5}}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

단계 4.2

$x^{5}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.1

$x^{5}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{x \cdot x^{4}}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

단계 4.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.2.1

$7 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 7} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

단계 4.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 7} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

단계 4.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{x^{4}}{7} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

단계 4.3

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 x$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\frac{x^{4}}{7} (7 \frac{d}{d x} [x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

단계 4.4

항을 간단히 합니다.

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단계 4.4.1

$7$ 와 $\frac{x^{4}}{7}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{7 x^{4}}{7} \frac{d}{d x} [x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

단계 4.4.2

$7$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.4.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{7 x^{4}}{7} \frac{d}{d x} [x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

단계 4.4.2.2

$x^{4}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

단계 4.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{4} \cdot 1 - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

단계 4.6

$x^{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{4} - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

단계 4.7

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{4} - \ln (7 x) (5 x^{4})}{x^{10}}$

단계 4.8

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 4.8.1

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{4} - 5 \ln (7 x) x^{4}}{x^{10}}$

단계 4.8.2

$x^{4} - 5 \ln (7 x) x^{4}$ 에서 $x^{4}$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.8.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{4} \cdot 1 - 5 \ln (7 x) x^{4}}{x^{10}}$

단계 4.8.2.2

$- 5 \ln (7 x) x^{4}$ 에서 $x^{4}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{4} \cdot 1 + x^{4} (- 5 \ln (7 x))}{x^{10}}$

단계 4.8.2.3

$x^{4} \cdot 1 + x^{4} (- 5 \ln (7 x))$ 에서 $x^{4}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{4} (1 - 5 \ln (7 x))}{x^{10}}$

단계 5

공약수로 약분합니다.

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단계 5.1

$x^{10}$ 에서 $x^{4}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{4} (1 - 5 \ln (7 x))}{x^{4} x^{6}}$

단계 5.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{4} (1 - 5 \ln (7 x))}{x^{4} x^{6}}$

단계 5.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 - 5 \ln (7 x)}{x^{6}}$

단계 6

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.1

$5$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 5 \ln (7 x)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{1 - \ln ({(7 x)}^{5})}{x^{6}}$

단계 6.2

$7 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1 - \ln (7^{5} x^{5})}{x^{6}}$

단계 6.3

$7$ 를 $5$ 승 합니다.

$\frac{1 - \ln (16807 x^{5})}{x^{6}}$