미적분 예제

$\frac{\ln (x)}{\ln (x) + 1}$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \ln (x) + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x) + 1]}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

단계 2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x) + 1]}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

단계 3

합의 법칙에 의해 $\ln (x) + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) (\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [1])}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

단계 4

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) (\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [1])}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

단계 5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) (\frac{1}{x} + 0)}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

단계 5.2

분수를 통분합니다.

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단계 5.2.1

$\frac{1}{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{1}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

단계 5.2.2

$\frac{1}{x}$ 와 $\ln (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} - \frac{\ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

단계 6

공통 분모를 가지는 분수로 $(\ln (x) + 1) \frac{1}{x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{x} - \frac{\ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

단계 7

$(\ln (x) + 1) \frac{1}{x}$ 와 $\frac{x}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} x}{x} - \frac{\ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

단계 8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} x - \ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

단계 9

$x$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{(\ln (x) + 1) \frac{x}{x} - \ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

단계 10

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 10.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{(\ln (x) + 1) \frac{x}{x} - \ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

단계 10.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{(\ln (x) + 1) \cdot 1 - \ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

단계 11

$\ln (x) + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{\ln (x) + 1 - \ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

단계 12

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\frac{\frac{\ln (\frac{x}{x}) + 1}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

단계 13

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 13.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{\ln (\frac{x}{x}) + 1}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

단계 13.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{\ln (1) + 1}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

단계 14

$\frac{\frac{\ln (1) + 1}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\frac{\ln (1) + 1}{x} \cdot \frac{1}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

단계 15

$\frac{\ln (1) + 1}{x}$ 에 $\frac{1}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln (1) + 1}{x {(\ln (x) + 1)}^{2}}$

단계 16

분자를 간단히 합니다.

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단계 16.1

$1$ 의 자연로그값은 $0$ 입니다.

$\frac{0 + 1}{x {(\ln (x) + 1)}^{2}}$

단계 16.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{x {(\ln (x) + 1)}^{2}}$