미적분 예제

$\sqrt{2 x + 4 y} + \sqrt{4 x y}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\sqrt{2 x + 4 y} + \sqrt{4 x y}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x + 4 y}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x + 4 y}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x + 4 y}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2 x + 4 y}$ 을(를) ${(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

단계 2.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = 2 x + 4 y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $2 x + 4 y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x + 4 y] + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

단계 2.2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 4 y] + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

단계 2.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $2 x + 4 y$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 4 y] + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

단계 2.3

합의 법칙에 의해 $2 x + 4 y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

단계 2.4

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

단계 2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

단계 2.6

$4 y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4 y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4 y$ 입니다.

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

단계 2.7

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

단계 2.8

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

단계 2.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

단계 2.10

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.10.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

단계 2.10.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{- 1}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

단계 2.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

단계 2.12

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}} (2 + 0) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

단계 2.13

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

단계 2.14

$\frac{1}{2}$ 와 ${(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

단계 2.15

$\frac{{(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{{(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

단계 2.16

${(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot {(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

단계 2.17

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{2}{2 {(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

단계 2.18

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{2 {(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

단계 2.19

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{4 x y}$ 을(를) ${(4 x y)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [{(4 x y)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.2

$4 x y$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [{(4 (x y))}^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.3

$4 (x y)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [4^{\frac{1}{2}} {(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.4

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [{(2^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.5

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2^{2 (\frac{1}{2})} {(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.6

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.6.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2^{2 (\frac{1}{2})} {(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.6.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2^{1} {(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.7

지수값을 계산합니다.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.8

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.9

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.9.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x y$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x y])$

단계 3.9.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y])$

단계 3.9.3

$u_{2}$ 를 모두 $x y$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y])$

단계 3.10

$y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $x y$ 의 미분은 $y \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} (y \frac{d}{d x} [x]))$

단계 3.11

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} (y \cdot 1))$

단계 3.12

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (y \cdot 1))$

단계 3.13

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (y \cdot 1))$

단계 3.14

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (y \cdot 1))$

단계 3.15

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.15.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 2}{2}} (y \cdot 1))$

단계 3.15.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{- 1}{2}} (y \cdot 1))$

단계 3.16

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{- \frac{1}{2}} (y \cdot 1))$

단계 3.17

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{- \frac{1}{2}} y)$

단계 3.18

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{{(x y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} y)$

단계 3.19

$\frac{{(x y)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{{(x y)}^{- \frac{1}{2}} y}{2}$

단계 3.20

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{y}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 3.21

$2$ 와 $\frac{y}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 y}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 3.22

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 y}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 3.23

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$x y$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y}{x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.2

항을 묶습니다.

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단계 4.2.1

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $y^{\frac{1}{2}}$ 를 분자로 이동합니다.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.2.2

지수를 더하여 $y$ 에 $y^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 4.2.2.1

$y$ 에 $y^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.2.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{1 - \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.2.2.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.2.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{2 - 1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.2.2.4

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$