미적분 예제

$\sqrt{10000 - 40 x - 0.02 x^{2}}$

단계 1

$\frac{d}{d x} [\sqrt{10000 - 40 x - 0.02 x^{2}}]$ 을 $\frac{d}{d x} [0.14142135 \sqrt{500000 - 2000 x - x^{2}}]$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 1.1

$10000 - 40 x - 0.02 x^{2}$ 을 ${0.14142135}^{2} (500000 - 2000 x - x^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 1.1.1

$10000$ 에서 $0.02$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{0.02 (500000) - 40 x - 0.02 x^{2}}]$

단계 1.1.2

$- 40 x$ 에서 $0.02$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{0.02 (500000) + 0.02 (- 2000 x) - 0.02 x^{2}}]$

단계 1.1.3

$0.02 (500000) + 0.02 (- 2000 x)$ 에서 $0.02$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{0.02 (500000 - 2000 x) - 0.02 x^{2}}]$

단계 1.1.4

$- 0.02 x^{2}$ 에서 $0.02$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{0.02 (500000 - 2000 x) + 0.02 (- x^{2})}]$

단계 1.1.5

$0.02 (500000 - 2000 x) + 0.02 (- x^{2})$ 에서 $0.02$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{0.02 (500000 - 2000 x - x^{2})}]$

단계 1.1.6

$0.02$ 을 ${0.14142135}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{0.14142135}^{2} (500000 - 2000 x - x^{2})}]$

단계 1.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{d}{d x} [0.14142135 \sqrt{500000 - 2000 x - x^{2}}]$

단계 2

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{500000 - 2000 x - x^{2}}$ 을(를) ${(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [0.14142135 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2.2

$0.14142135$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $0.14142135 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $0.14142135 \frac{d}{d x} [{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$0.14142135 \frac{d}{d x} [{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = 500000 - 2000 x - x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $500000 - 2000 x - x^{2}$ 로 바꿉니다.

$0.14142135 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [500000 - 2000 x - x^{2}])$

단계 3.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0.14142135 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [500000 - 2000 x - x^{2}])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $500000 - 2000 x - x^{2}$ 로 바꿉니다.

$0.14142135 (\frac{1}{2} {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [500000 - 2000 x - x^{2}])$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$0.14142135 (\frac{1}{2} {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [500000 - 2000 x - x^{2}])$

단계 5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$0.14142135 (\frac{1}{2} {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [500000 - 2000 x - x^{2}])$

단계 6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$0.14142135 (\frac{1}{2} {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [500000 - 2000 x - x^{2}])$

단계 7

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$0.14142135 (\frac{1}{2} {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [500000 - 2000 x - x^{2}])$

단계 7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$0.14142135 (\frac{1}{2} {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [500000 - 2000 x - x^{2}])$

단계 8

분수를 통분합니다.

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단계 8.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$0.14142135 (\frac{1}{2} {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [500000 - 2000 x - x^{2}])$

단계 8.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(500000 - 2000 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$0.14142135 (\frac{{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [500000 - 2000 x - x^{2}])$

단계 8.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(500000 - 2000 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$0.14142135 (\frac{1}{2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [500000 - 2000 x - x^{2}])$

단계 8.4

$\frac{1}{2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $0.14142135$ 을 묶습니다.

$\frac{0.14142135}{2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [500000 - 2000 x - x^{2}]$

단계 9

합의 법칙에 의해 $500000 - 2000 x - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [500000] + \frac{d}{d x} [- 2000 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{0.14142135}{2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [500000] + \frac{d}{d x} [- 2000 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

단계 10

$500000$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $500000$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $500000$ 입니다.

$\frac{0.14142135}{2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 2000 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

단계 11

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- 2000 x]$ 에 더합니다.

$\frac{0.14142135}{2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [- 2000 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

단계 12

$- 2000$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2000 x$ 의 미분은 $- 2000 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{0.14142135}{2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2000 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

단계 13

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{0.14142135}{2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2000 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

단계 14

$- 2000$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{0.14142135}{2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2000 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

단계 15

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{0.14142135}{2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2000 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 16

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{0.14142135}{2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2000 - (2 x))$

단계 17

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{0.14142135}{2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2000 - 2 x)$

단계 18

간단히 합니다.

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단계 18.1

$\frac{0.14142135}{2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2000 - 2 x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(- 2000 - 2 x) \frac{0.14142135}{2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 18.2

$0.14142135$ 에서 $0.14142135$ 를 인수분해합니다.

$(- 2000 - 2 x) \frac{0.14142135 (1)}{2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 18.3

$2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(- 2000 - 2 x) \frac{0.14142135 (1)}{2 ({(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

단계 18.4

분수를 나눕니다.

$(- 2000 - 2 x) (\frac{0.14142135}{2} \cdot \frac{1}{{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

단계 18.5

$0.14142135$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$(- 2000 - 2 x) (0.07071067 \frac{1}{{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

단계 18.6

$0.07071067$ 와 $\frac{1}{{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$(- 2000 - 2 x) \frac{0.07071067}{{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 18.7

$- 2000 - 2 x$ 에 $\frac{0.07071067}{{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{(- 2000 - 2 x) \cdot 0.07071067}{{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 18.8

분자를 간단히 합니다.

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단계 18.8.1

$- 2000 - 2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 18.8.1.1

$- 2000$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(2 (- 1000) - 2 x) \cdot 0.07071067}{{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 18.8.1.2

$- 2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(2 (- 1000) + 2 (- x)) \cdot 0.07071067}{{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 18.8.1.3

$2 (- 1000) + 2 (- x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 1000 - x) \cdot 0.07071067}{{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 18.8.2

$0.07071067$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{0.14142135 (- 1000 - x)}{{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 18.9

$- 1000$ 을 $- 1 (1000)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{0.14142135 (- 1 (1000) - x)}{{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 18.10

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{0.14142135 (- 1 (1000) - (x))}{{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 18.11

$- 1 (1000) - (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{0.14142135 (- 1 (1000 + x))}{{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 18.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{0.14142135 (1000 + x)}{{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$