미적분 예제

$\sqrt[5]{x} + 4 \sqrt{x^{5}}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\sqrt[5]{x} + 4 \sqrt{x^{5}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x}] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x}] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [\sqrt[5]{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[5]{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{5}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}]$

단계 2.2

$n = \frac{1}{5}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1} + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}]$

단계 2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}]$

단계 2.4

$- 1$ 와 $\frac{5}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}]$

단계 2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}]$

단계 2.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.6.1

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}} + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}]$

단계 2.6.2

$1$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}} + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}]$

단계 2.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}} + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x^{5}}$ 을(를) $x^{\frac{5}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}]$

단계 3.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{\frac{5}{2}}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ 입니다.

$\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}} + 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

단계 3.3

$n = \frac{5}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

단계 3.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 3.5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 3.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

단계 3.7.2

$5$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

단계 3.8

$\frac{5}{2}$ 와 $x^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}} + 4 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

단계 3.9

$4$ 와 $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}} + \frac{4 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

단계 3.10

$5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}} + \frac{20 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

단계 3.11

$20 x^{\frac{3}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}} + \frac{2 (10 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

단계 3.12

공약수로 약분합니다.

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단계 3.12.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}} + \frac{2 (10 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)}$

단계 3.12.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}} + \frac{2 (10 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1}$

단계 3.12.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}} + \frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{1}$

단계 3.12.4

$10 x^{\frac{3}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

단계 4.2

$\frac{1}{5}$ 에 $\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

단계 4.3

항을 다시 정렬합니다.

$10 x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$