미적분 예제

$2 x {(4 - x)}^{2}$

단계 1

${(4 - x)}^{2}$ 을 $(4 - x) (4 - x)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [2 x ((4 - x) (4 - x))]$

단계 2

FOIL 계산법을 이용하여 $(4 - x) (4 - x)$ 를 전개합니다.

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단계 2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x (4 (4 - x) - x (4 - x))]$

단계 2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x (4 \cdot 4 + 4 (- x) - x (4 - x))]$

단계 2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x (4 \cdot 4 + 4 (- x) - x \cdot 4 - x (- x))]$

단계 3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.1.1

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x (16 + 4 (- x) - x \cdot 4 - x (- x))]$

단계 3.1.2

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - x \cdot 4 - x (- x))]$

단계 3.1.3

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - 4 x - x (- x))]$

단계 3.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x)]$

단계 3.1.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.1.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x))]$

단계 3.1.5.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot - 1 x^{2})]$

단계 3.1.6

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - 4 x + 1 x^{2})]$

단계 3.1.7

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - 4 x + x^{2})]$

단계 3.2

$- 4 x$ 에서 $4 x$ 을 뺍니다.

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 8 x + x^{2})]$

단계 4

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x (16 - 8 x + x^{2})$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x (16 - 8 x + x^{2})]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x (16 - 8 x + x^{2})]$

단계 5

$f (x) = x$ , $g (x) = 16 - 8 x + x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x \frac{d}{d x} [16 - 8 x + x^{2}] + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 6

미분합니다.

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단계 6.1

합의 법칙에 의해 $16 - 8 x + x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 가 됩니다.

$2 (x (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 6.2

$16$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $16$ 입니다.

$2 (x (0 + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 6.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ 에 더합니다.

$2 (x (\frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 6.4

$- 8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 8 x$ 의 미분은 $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 (x (- 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 6.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x (- 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 6.6

$- 8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (x (- 8 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 6.7

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x (- 8 + 2 x) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 6.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x (- 8 + 2 x) + (16 - 8 x + x^{2}) \cdot 1)$

단계 6.9

$16 - 8 x + x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (x (- 8 + 2 x) + 16 - 8 x + x^{2})$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (x \cdot - 8 + x (2 x) + 16 - 8 x + x^{2})$

단계 7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (x \cdot - 8) + 2 (x (2 x)) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

단계 7.3

항을 묶습니다.

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단계 7.3.1

$x$ 의 왼쪽으로 $- 8$ 이동하기

$2 (- 8 \cdot x) + 2 (x (2 x)) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

단계 7.3.2

$- 8$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 16 x + 2 (x (2 x)) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

단계 7.3.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 16 x + 2 (2 (x^{1} x)) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

단계 7.3.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 16 x + 2 (2 (x^{1} x^{1})) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

단계 7.3.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 16 x + 2 (2 x^{1 + 1}) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

단계 7.3.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 16 x + 2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

단계 7.3.7

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 16 x + 4 x^{2} + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

단계 7.3.8

$2$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$- 16 x + 4 x^{2} + 32 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

단계 7.3.9

$- 8$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 16 x + 4 x^{2} + 32 - 16 x + 2 x^{2}$

단계 7.3.10

$- 16 x$ 에서 $16 x$ 을 뺍니다.

$- 32 x + 4 x^{2} + 32 + 2 x^{2}$

단계 7.3.11

$4 x^{2}$ 를 $2 x^{2}$ 에 더합니다.

$- 32 x + 6 x^{2} + 32$

단계 7.4

항을 다시 정렬합니다.

$6 x^{2} - 32 x + 32$