미적분 예제

$2 x {(x - 4)}^{3}$

단계 1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x {(x - 4)}^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}]$

단계 2

$f (x) = x$ , $g (x) = {(x - 4)}^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{3}] + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = x - 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 4$ 로 바꿉니다.

$2 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $x - 4$ 로 바꿉니다.

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $x - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.3

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.4

식을 간단히 합니다.

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단계 4.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.4.2

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1)$

단계 4.6

${(x - 4)}^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3})$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2})) + 2 {(x - 4)}^{3}$

단계 5.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 (x ({(x - 4)}^{2})) + 2 {(x - 4)}^{3}$

단계 5.3

$6 x {(x - 4)}^{2} + 2 {(x - 4)}^{3}$ 에서 $2 {(x - 4)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.3.1

$6 x {(x - 4)}^{2}$ 에서 $2 {(x - 4)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{3}$

단계 5.3.2

$2 {(x - 4)}^{3}$ 에서 $2 {(x - 4)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{2} (x - 4)$

단계 5.3.3

$2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{2} (x - 4)$ 에서 $2 {(x - 4)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$2 {(x - 4)}^{2} (3 x + x - 4)$

단계 5.4

$3 x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$2 {(x - 4)}^{2} (4 x - 4)$

단계 5.5

${(x - 4)}^{2}$ 을 $(x - 4) (x - 4)$ 로 바꿔 씁니다.

$2 ((x - 4) (x - 4)) (4 x - 4)$

단계 5.6

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 4) (x - 4)$ 를 전개합니다.

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단계 5.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (x (x - 4) - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

단계 5.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

단계 5.6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

단계 5.7

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.7.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.7.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$2 (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

단계 5.7.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 4$ 이동하기

$2 (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

단계 5.7.1.3

$- 4$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$2 (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (4 x - 4)$

단계 5.7.2

$- 4 x$ 에서 $4 x$ 을 뺍니다.

$2 (x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$

단계 5.8

분배 법칙을 적용합니다.

$(2 x^{2} + 2 (- 8 x) + 2 \cdot 16) (4 x - 4)$

단계 5.9

간단히 합니다.

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단계 5.9.1

$- 8$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$(2 x^{2} - 16 x + 2 \cdot 16) (4 x - 4)$

단계 5.9.2

$2$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$(2 x^{2} - 16 x + 32) (4 x - 4)$

단계 5.10

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(2 x^{2} - 16 x + 32) (4 x - 4)$ 를 전개합니다.

$2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

단계 5.11

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.11.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$2 \cdot 4 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

단계 5.11.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 5.11.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$2 \cdot 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

단계 5.11.2.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 5.11.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 \cdot 4 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

단계 5.11.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 \cdot 4 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

단계 5.11.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$2 \cdot 4 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

단계 5.11.3

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$8 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

단계 5.11.4

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

단계 5.11.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot 4 x \cdot x - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

단계 5.11.6

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 5.11.6.1

$x$ 를 옮깁니다.

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot 4 (x \cdot x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

단계 5.11.6.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot 4 x^{2} - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

단계 5.11.7

$- 16$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

단계 5.11.8

$- 4$ 에 $- 16$ 을 곱합니다.

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

단계 5.11.9

$4$ 에 $32$ 을 곱합니다.

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 128 x + 32 \cdot - 4$

단계 5.11.10

$32$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 128 x - 128$

단계 5.12

$- 8 x^{2}$ 에서 $64 x^{2}$ 을 뺍니다.

$8 x^{3} - 72 x^{2} + 64 x + 128 x - 128$

단계 5.13

$64 x$ 를 $128 x$ 에 더합니다.

$8 x^{3} - 72 x^{2} + 192 x - 128$