미적분 예제

$2 x^{2} - 8 \sqrt{x}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $2 x^{2} - 8 \sqrt{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{x}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{2}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{x}]$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{x}]$

단계 2.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 x + \frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{x}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$4 x + \frac{d}{d x} [- 8 x^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.2

$- 8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 8 x^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $- 8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$4 x - 8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 3.3

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

단계 3.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$4 x - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 3.5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$4 x - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$4 x - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 3.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 x - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

단계 3.7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$4 x - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

단계 3.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$4 x - 8 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

단계 3.9

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$4 x - 8 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

단계 3.10

$- 8$ 와 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$4 x + \frac{- 8 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

단계 3.11

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$4 x + \frac{- 8}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 3.12

$- 8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$4 x + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 3.13

공약수로 약분합니다.

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단계 3.13.1

$2 x^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$4 x + \frac{2 \cdot - 4}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

단계 3.13.2

공약수로 약분합니다.

$4 x + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 3.13.3

수식을 다시 씁니다.

$4 x + \frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 3.14

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$4 x - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$